previous arrow
next arrow
Slider

Четные и нечетные функции

 

Функция y=f(x) называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство

f(-x)=f(x)

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Например, y = x^2, y = cos x, y = \left |x \right | — четные функции.

Функция y=f(x) называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любогоxиз ее области определения выполняется равенство

f(-x)=-f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например, y = x^3, y = sin x, y = tg x, y=\frac{1}{x} — нечетные функции.

Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида.

Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задания:

1. Проверьте, является ли функция f(x)=\frac{x}{3}-\frac{3}{x} четной (нечетной). 

Область определения функции f(x):

x\ne 0.

Проверим, является ли f(x) чётной или нечётной. Если f(-x)=f(x), функция четна. Если f(-x)=-f(x), функция нечетна.

f(-x)=-\frac{x}{3}+\frac{3}{x}=-(\frac{x}{3}-\frac{3}{x})=-f(x) — значит, функция f(x)=\frac{x}{3}-\frac{3}{x} нечётная, её график симметричен относительно нуля.

2. Проверьте, является ли функция f(x)=x^2+cosx четной (нечетной)

Область определения: все действительные числа.

f(x) — чётная, как сумма двух чётных функций.

f(-x)={(-x)}^2+cos(-x)=x^2+cosx=f(x)

Её график симметричен относительно оси y.

3. Проверьте, является ли функция f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{\left|x\right|} четной (нечетной).

D(f):x\in [-1;0)\cup (0;1] .

Область определения функции симметрична относительно нуля.

f(-x)=\frac{\sqrt{1-{(-x)}^2}}{\left|-x\right|}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{\left|x\right|};

f(x) — чётная, её график симметричен относительно оси y.