previous arrow
next arrow
Slider

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусов

Анна Малкова

Вписанные углы А и С четырехугольника АВСD на рисунке опираются на дуги ВСD и BAD, сумма которых равна 360 градусов. Значит, сумма углов А и С равна 180^{\circ}.

Докажем обратное утверждение.

Пусть сумма углов А и С четырехугольника АВСD равна 180°. Докажем, что точки А, В, С и D лежат на одной окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Опишем окружность вокруг треугольника АВD. Мы не знаем пока, лежит ли точка С на этой окружности. Значит, С может лежать на этой окружности, или внутри нее, или вне окружности.

Предположим, что точка С лежит внутри окружности, описанной вокруг треугольника АВD. Продолжим отрезок ВС до пересечения с окружностью в точке C_1.

Так как четырехугольник ABC_1D вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна 180°. Это мы доказали. Значит, \angle BC_1D = 180^\circ - \angle BAD.

По условию, \angle BCD=180^\circ  - \angle BAD. Значит \angle BC_1D = \angle BCD.

Угол C_1CD – смежный с углом ВСD, \angle C_1CD=180^\circ - \angle BCD = 180^\circ- \angle BC_1D. Тогда в треугольнике CC_1D сумма углов BCD и BC_1D равна 180°. Такой треугольник не может существовать, поскольку угол D в нем равен нулю. Значит, точка С не может лежать внутри окружности, описанной вокруг треугольника ABD.

Аналогично доказывается, что С не может лежать и вне этой окружности. Остается случай, когда точки А, В, С и D лежат на одной окружности.

И это значит, что ABCD вписан в окружность.

Задачи ЕГЭ по теме «Вписанный четырехугольник»

1. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58^{\circ}. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180^{\circ}. Величина угла С равна 180^{\circ}- 58^{\circ} = 122^{\circ}.

2. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 24^{\circ} и 67^{\circ}. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180^{\circ}. Больший из оставшихся углов лежит напротив меньшего из указанных в условии, и он равен 180^{\circ} -24^{\circ}= 156^{\circ}.