Число \(a\) делится на число \(b\neq 0\), если найдется такое число \(c\), что \(a=bc\). Например, \(15\) делится на \(3\), а \(49\) делится на \(7\). Обозначение: \(a\;\vdots \;b\)
- Если \(a\) делится на \(b\), то число \(b\) называется делителем числа \(a\).
- Если числа \(a\) и \(b\) делятся на \(c\), то \(a+b\) тоже делится на \(c\).
- Если числа \(a\) и \(b\) делятся на \(c\), а \(m\) и \(n\) – целые, то \(ma+nb\) тоже делится на \(c\).
Формула деления с остатком. Если \(a=bc+r\), то число \(a\) делится на \(b\) с остатком \(r\).
Например, при делении \(9\) на \(4\) мы получаем частное \(2\) и остаток \(1\), то есть \(9=4\cdot 2+1.\)
Четные числа – целые числа, которые делятся на \(2\). Любое четное число можно записать в виде \(2n\), где \(n\) – целое.
Нечетные числа – те целые числа, что не делятся на \(2\). Любое нечетное число можно записать в виде \(2n+1\), где \(n\) – целое.
Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…\)
Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме \(1\).
Любое натуральное число можно разложить на простые множители.
Например, \(72=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\), а \(98=2\cdot 7\cdot 7.\)
Основная теорема арифметики: Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.
\(a=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}...p_{s}^{n_{s}}.\)
Например, \(72=2^{3}\cdot 3^{2}.\)
Количество делителей натурального числа равно \(\left ( n_{1}+1 \right )\left ( n_{2}+1 \right )...\left ( n_{s}+1 \right )\).
Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.
Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.
Признаки делимости
\(\bullet\; a\;\vdots\; 2\;\Leftrightarrow \) последняя цифра числа \(a\) четная;
\(\bullet\;a\;\vdots\; 3\;\Leftrightarrow\) сумма цифр числа \(a\) делится на \(3\);
\(\bullet\;a\;\vdots\; 5\;\Leftrightarrow \) число \(a\) заканчивается на \(0\) или на \(5\);
\(\bullet\;a\;\vdots\; 4\;\Leftrightarrow\) число, составленное из двух последних цифр числа \(a\), делится на \(4\);
\(\bullet\;a\;\vdots\; 8\;\Leftrightarrow\) число, составленное из трех последних цифр числа \(a\), делится на \(8\);
\(\bullet\;a\;\vdots\; 9\;\Leftrightarrow \) сумма цифр числа \(a\) делится на \(9\);
\(\bullet\;a\;\vdots\; 10\;\Leftrightarrow \) последняя цифра числа \(a\) равна \(0\);
\(\bullet\;a\;\vdots\; 11\;\Leftrightarrow\) суммы цифр на четных и нечетных позициях числа \(a\) равны или их разность кратна \(11\).
