Делимость чисел. Признаки делимости. Основная теорема арифметики

В этой статье – необходимая теория для решения задачи 18 Профильного ЕГЭ по математике. Но это не все. Знания о числах и их свойствах, признаки делимости и формула деления с остатком могут пригодиться вам при решении многих задач ЕГЭ.
Повторим еще раз, какие бывают числа.

Натуральные числа — это числа 1,2,3, ... – те, что мы используем для счёта предметов. Ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается $N$ .

Целые числа — это 0,±1,±2,±3 ... Множество целых чисел обозначается $Z$ .

Рациональные — числа, которые можно записать в виде
дроби $\frac{p}{q}$ , где $p$ – целое, а $q$ – натуральное.
Например, $3;\;\frac{1}{2};\;\frac{7}{15};\;0,12$ . Рациональные числа – это периодические десятичные дроби. Множество рациональных чисел обозначается $Q$ .

Иррациональные числа – те, которые нельзя записать в виде $\frac{p}{q}$ или в виде периодической десятичной дроби. Числа $\pi ;e;\sqrt{2};\log _{7}9$ – иррациональные.
Множества рациональных и иррациональных чисел вместе образуют множество действительных чисел $R$ .

Число $a$ делится на число $b\neq 0$ , если найдется такое число $c$ такое, что $a=bc$ . Например, 15 делится на 3, а 49 делится на 7. Обозначение: $a\;\vdots \;b$

- Если $a$ делится на $b$ , то число $b$ называется делителем числа $a$ .

- Если числа $a$ и $b$ делятся на $c$ , то $a+b$ тоже делится на $c$ .

- Если числа $a$ и $b$ делятся на $c$ , а $m$ и $n$ – целые, то $ma+nb$ тоже делится на $c$ .

Формула деления с остатком. Если $a=bc+r$ , то число $a$ делится на $b$ с остатком $r$ .

Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.

Четные числа – целые числа, которые делятся на 2. Любое четное число можно записать в виде $2n$ , где $n$ – целое.

Нечетные числа – те целые числа, что не делятся на 2. Любое нечетное число можно записать в виде $2n+1$ , где $n$ – целое.

Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.

Любое натуральное число можно разложить на простые множители.

Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.

Основная теорема арифметики: Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.

$a=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}...p_{s}^{n_{s}}$

Например, 72 = 2³∙3².

Количество делителей натурального числа равно $\left ( n_{1}+1 \right )\left ( n_{2}+1 \right )...\left ( n_{s}+1 \right )$ .

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.

Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.

Признаки делимости

$\bullet\; a\;\vdots\; 2\;\Leftrightarrow$ последняя цифра числа $a$ четная;

$\bullet\;a\;\vdots\; 3\;\Leftrightarrow$ сумма цифр числа $a$ делится на 3;

$\bullet\;a\;\vdots\; 5\;\Leftrightarrow$ число $a$ заканчивается на 0 или на 5;

$\bullet\;a\;\vdots\; 4\;\Leftrightarrow$ число, составленное из двух последних цифр числа $a$ , делится на 4;

$\bullet\;a\;\vdots\; 8\;\Leftrightarrow$ число, составленное из трех последних цифр числа $a$ , делится на 8;

$\bullet\;a\;\vdots\; 9\;\Leftrightarrow$ сумма цифр числа $a$ делится на 9;

$\bullet\;a\;\vdots\; 10\;\Leftrightarrow$ последняя цифра числа $a$ равна 0;

$\bullet\;a\;\vdots\; 11\;\Leftrightarrow$ суммы цифр на четных и нечетных позициях числа $a$ равны или их разность кратна 11.

Делимость чисел. Признаки делимости. Основная теорема арифметики

Это полезно