previous arrow
next arrow
Slider

Делимость чисел. Признаки делимости. Основная теорема арифметики

В этой статье – необходимая теория для решения задачи 19 Профильного ЕГЭ по математике. Но это не все. Знания о числах и их свойствах, признаки делимости и формула деления с остатком могут пригодиться вам при решении многих задач ЕГЭ.
Повторим еще раз, какие бывают числа.

Натуральные числа — это числа 1,2,3, ... – те, что мы используем для счёта предметов. Ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается N.

Целые числа — это 0,±1,±2,±3 ... Множество целых чисел обозначается Z.

Рациональные — числа, которые можно записать в виде
дроби \frac{p}{q}, где p – целое, а q – натуральное.
Например, 3;\;\frac{1}{2};\;\frac{7}{15};\;0,12. Рациональные числа – это периодические десятичные дроби. Множество рациональных чисел обозначается Q.

Иррациональные числа – те, которые нельзя записать в виде \frac{p}{q} или в виде периодической десятичной дроби. Числа \pi ;e;\sqrt{2};\log _{7}9 – иррациональные.
Множества рациональных и иррациональных чисел вместе образуют множество действительных чисел R.

Число a делится на число b\neq 0, если найдется такое число c такое, что a=bc. Например, 15 делится на 3, а 49 делится на 7. Обозначение: a\;\vdots \;b

- Если a делится на b, то число b называется делителем числа a.

- Если числа a и b делятся на c, то a+b тоже делится на c.

- Если числа a и b делятся на c, а m и n – целые, то ma+nb тоже делится на c.

Формула деления с остатком. Если a=bc+r, то число a делится на b с остатком r.

Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.

Четные числа – целые числа, которые делятся на 2. Любое четное число можно записать в виде 2n, где n – целое.

Нечетные числа – те целые числа, что не делятся на 2. Любое нечетное число можно записать в виде 2n+1, где n – целое.

Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.

Любое натуральное число можно разложить на простые множители.

Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.

Основная теорема арифметики: Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.

a=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}...p_{s}^{n_{s}}

Например, 72 = 2³∙3².

Количество делителей натурального числа равно \left ( n_{1}+1 \right )\left ( n_{2}+1 \right )...\left ( n_{s}+1 \right ).

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.

Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.

Признаки делимости

\bullet\; a\;\vdots\; 2\;\Leftrightarrow последняя цифра числа a четная;

\bullet\;a\;\vdots\; 3\;\Leftrightarrow сумма цифр числа a делится на 3;

\bullet\;a\;\vdots\; 5\;\Leftrightarrow число a заканчивается на 0 или на 5;

\bullet\;a\;\vdots\; 4\;\Leftrightarrow число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4;

\bullet\;a\;\vdots\; 8\;\Leftrightarrow число, составленное из трех последних цифр числа a, делится на 8;

\bullet\;a\;\vdots\; 9\;\Leftrightarrow сумма цифр числа a делится на 9;

\bullet\;a\;\vdots\; 10\;\Leftrightarrow последняя цифра числа a равна 0;

\bullet\;a\;\vdots\; 11\;\Leftrightarrow суммы цифр на четных и нечетных позициях числа a равны или их разность кратна 11.