В этой статье – необходимая теория для решения задачи 19 Профильного ЕГЭ по математике. Но это не все. Знания о числах и их свойствах, признаки делимости и формула деления с остатком могут пригодиться вам при решении многих задач ЕГЭ.
Повторим еще раз, какие бывают числа.
Натуральные числа — это числа 1,2,3, ... – те, что мы используем для счёта предметов. Ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается .
Целые числа — это 0,±1,±2,±3 ... Множество целых чисел обозначается .
Рациональные — числа, которые можно записать в виде
дроби , где
– целое, а
– натуральное.
Например, . Рациональные числа – это периодические десятичные дроби. Множество рациональных чисел обозначается
.
Иррациональные числа – те, которые нельзя записать в виде или в виде периодической десятичной дроби. Числа
– иррациональные.
Множества рациональных и иррациональных чисел вместе образуют множество действительных чисел .
Число делится на число
, если найдется такое число
такое, что
. Например, 15 делится на 3, а 49 делится на 7. Обозначение:
- Если делится на
, то число
называется делителем числа
.
- Если числа и
делятся на
, то
тоже делится на
.
- Если числа и
делятся на
, а
и
– целые, то
тоже делится на
.
Формула деления с остатком. Если , то число
делится на
с остатком
.
Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.
Четные числа – целые числа, которые делятся на 2. Любое четное число можно записать в виде , где
– целое.
Нечетные числа – те целые числа, что не делятся на 2. Любое нечетное число можно записать в виде , где
– целое.
Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.
Любое натуральное число можно разложить на простые множители.
Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.
Основная теорема арифметики: Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.
Например, 72 = 2³∙3².
Количество делителей натурального числа равно .
Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.
Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.
Признаки делимости
последняя цифра числа
четная;
сумма цифр числа
делится на 3;
число
заканчивается на 0 или на 5;
число, составленное из двух последних цифр числа
, делится на 4;
число, составленное из трех последних цифр числа
, делится на 8;
сумма цифр числа
делится на 9;
последняя цифра числа
равна 0;
суммы цифр на четных и нечетных позициях числа
равны или их разность кратна 11.