В этой статье – необходимая теория для решения задачи 18 Профильного ЕГЭ по математике. Но это не все. Знания о числах и их свойствах, признаки делимости и формула деления с остатком могут пригодиться вам при решении многих задач ЕГЭ.
Повторим еще раз, какие бывают числа.
Натуральные числа — это числа 1,2,3, ... – те, что мы используем для счёта предметов. Ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается .
Целые числа — это 0,±1,±2,±3 ... Множество целых чисел обозначается .
Рациональные — числа, которые можно записать в виде
дроби , где
– целое, а
– натуральное.
Например, . Рациональные числа – это периодические десятичные дроби. Множество рациональных чисел обозначается
.
Иррациональные числа – те, которые нельзя записать в виде или в виде периодической десятичной дроби. Числа
– иррациональные.
Множества рациональных и иррациональных чисел вместе образуют множество действительных чисел .
Число делится на число
, если найдется такое число
такое, что
. Например, 15 делится на 3, а 49 делится на 7. Обозначение:
- Если делится на
, то число
называется делителем числа
.
- Если числа и
делятся на
, то
тоже делится на
.
- Если числа и
делятся на
, а
и
– целые, то
тоже делится на
.
Формула деления с остатком. Если , то число
делится на
с остатком
.
Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.
Четные числа – целые числа, которые делятся на 2. Любое четное число можно записать в виде , где
– целое.
Нечетные числа – те целые числа, что не делятся на 2. Любое нечетное число можно записать в виде , где
– целое.
Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.
Любое натуральное число можно разложить на простые множители.
Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.
Основная теорема арифметики: Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.
Например, 72 = 2³∙3².
Количество делителей натурального числа равно .
Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.
Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.
Признаки делимости
последняя цифра числа
четная;
сумма цифр числа
делится на 3;
число
заканчивается на 0 или на 5;
число, составленное из двух последних цифр числа
, делится на 4;
число, составленное из трех последних цифр числа
, делится на 8;
сумма цифр числа
делится на 9;
последняя цифра числа
равна 0;
суммы цифр на четных и нечетных позициях числа
равны или их разность кратна 11.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Делимость чисел. Признаки делимости. Основная теорема арифметики» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 08.05.2023