Делимость чисел. Признаки делимости. Основная теорема арифметики

В этой статье – необходимая теория для решения задачи 19 Профильного ЕГЭ по математике. Но это не все. Знания о числах и их свойствах, признаки делимости и формула деления с остатком могут пригодиться вам при решении многих задач ЕГЭ.
Повторим еще раз, какие бывают числа.

Натуральные числа — это числа 1,2,3, ... – те, что мы используем для счёта предметов. Ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается $N$ .

Целые числа — это 0,±1,±2,±3 ... Множество целых чисел обозначается $Z$ .

Рациональные — числа, которые можно записать в виде
дроби $\frac{p}{q}$ , где $p$ – целое, а $q$ – натуральное.
Например, $3;\;\frac{1}{2};\;\frac{7}{15};\;0,12$ . Рациональные числа – это периодические десятичные дроби. Множество рациональных чисел обозначается $Q$ .

Иррациональные числа – те, которые нельзя записать в виде $\frac{p}{q}$ или в виде периодической десятичной дроби. Числа $\pi ;e;\sqrt{2};\log _{7}9$ – иррациональные.
Множества рациональных и иррациональных чисел вместе образуют множество действительных чисел $R$ .

Число $a$ делится на число $b\neq 0$ , если найдется такое число $c$ такое, что $a=bc$ . Например, 15 делится на 3, а 49 делится на 7. Обозначение: $a\;\vdots \;b$

- Если $a$ делится на $b$ , то число $b$ называется делителем числа $a$ .

- Если числа $a$ и $b$ делятся на $c$ , то $a+b$ тоже делится на $c$ .

- Если числа $a$ и $b$ делятся на $c$ , а $m$ и $n$ – целые, то $ma+nb$ тоже делится на $c$ .

Формула деления с остатком. Если $a=bc+r$ , то число $a$ делится на $b$ с остатком $r$ .

Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.

Четные числа – целые числа, которые делятся на 2. Любое четное число можно записать в виде $2n$ , где $n$ – целое.

Нечетные числа – те целые числа, что не делятся на 2. Любое нечетное число можно записать в виде $2n+1$ , где $n$ – целое.

Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.

Любое натуральное число можно разложить на простые множители.

Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.

Основная теорема арифметики: Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.

$a=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}...p_{s}^{n_{s}}$

Например, 72 = 2³∙3².

Количество делителей натурального числа равно $\left ( n_{1}+1 \right )\left ( n_{2}+1 \right )...\left ( n_{s}+1 \right )$ .

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.

Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.

Признаки делимости

$\bullet\; a\;\vdots\; 2\;\Leftrightarrow$ последняя цифра числа $a$ четная;

$\bullet\;a\;\vdots\; 3\;\Leftrightarrow$ сумма цифр числа $a$ делится на 3;

$\bullet\;a\;\vdots\; 5\;\Leftrightarrow$ число $a$ заканчивается на 0 или на 5;

$\bullet\;a\;\vdots\; 4\;\Leftrightarrow$ число, составленное из двух последних цифр числа $a$ , делится на 4;

$\bullet\;a\;\vdots\; 8\;\Leftrightarrow$ число, составленное из трех последних цифр числа $a$ , делится на 8;

$\bullet\;a\;\vdots\; 9\;\Leftrightarrow$ сумма цифр числа $a$ делится на 9;

$\bullet\;a\;\vdots\; 10\;\Leftrightarrow$ последняя цифра числа $a$ равна 0;

$\bullet\;a\;\vdots\; 11\;\Leftrightarrow$ суммы цифр на четных и нечетных позициях числа $a$ равны или их разность кратна 11.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.