Условие задачи
а) Решите уравнение \(2cos^3 x+ \sqrt{3} cos^2 x+2cosx+\sqrt{3}=0\).
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( \left[-2 \pi ; - \displaystyle \frac{\pi}{2} \right]. \)
Решение
а) \(2cos^3 x+ \sqrt{3} cos^2 x+2cosx+\sqrt{3}=0\).
\(cos^{2}x(2cos x+\sqrt{3}) + 2cosx+\sqrt{3}=0;\)
\( ( 2 cosx+ \sqrt {3} ) (cos^{2} x + 1) = 0. \)
Поделим на \( cos^{2}x+1\ne0 \); получим:
\( 2cos x+\sqrt{3}=0;\)
\( cos x = -\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2};\)
\(x = \pm \displaystyle\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \ n \in Z.\)
б) Найдём корни на отрезке \(x \in \left[-2 \pi ; -\displaystyle \frac{\pi}{2} \right] \) с помощью тригонометрической окружности.
Указанному отрезку принадлежат точки
\(x_1=-2\pi+\displaystyle\frac{5\pi}{6}=-\frac{7\pi}{6};\)
\(x_2=-2\pi+\displaystyle\frac{7\pi}{6}=-\frac{5\pi}{6}.\)
Ответ:
а) \(x = \pm \displaystyle\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \ n\in Z.\)
б) \(\displaystyle-\frac{7\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}.\)
