previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 13. Досрочный ЕГЭ-2020

Условие задачи

а) Решите уравнение

2cos^3 x+ \sqrt{3} cos^2 x+2cosx+\sqrt{3}=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

[-2 \pi ; - \frac{\pi}{2} ].

Решение

а) 2cos^3 x+ \sqrt{3} cos^2 x+2cosx+\sqrt{3}=0.

cos^{2}x(2cos x+\sqrt{3}) + 2cosx+\sqrt{3}=0

( 2 cosx+ \sqrt {3} ) (cos^{2} x + 1) = 0

Поделим на cos^{2}x+1\ne0 ; получим:

2cos x+\sqrt{3}=0

cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}

x = \pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n, \ n \in Z.

б) Найдём корни на отрезке x \in [-2 \pi ; - \frac{\pi}{2} ] с помощью тригонометрической окружности.

Указанному отрезку принадлежат точки

x_1=-2\pi+\frac{5\pi}{6}=-\frac{7\pi}{6};

x_2=-2\pi+\frac{7\pi}{6}=-\frac{5\pi}{6};

Ответ:

а) x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \ n\in Z

б) -\frac{7\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}