previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 14. Досрочный ЕГЭ-2020

Условие задачи

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:3. Плоскость \alpha содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость \alpha параллельна прямой SA.

б) Найдите угол между плоскостями \alpha и SBC.

Решение

 

Пусть \alpha - плоскость сечения.

DN:NC=SK:KC=1:3;

Значит, CN=3, DN=1.

\triangle NCK \sim \triangle DCS по углу и двум противоположным сторонам, значит, NK \parallel SD.

Проведем NM\parallel BC в плоскости ABC.

Тогда NM \parallel (SBC); NM \in \alpha, \alpha \cap (SBC)=KP.

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, KP \parallel MN, сечение - трапеция KNMP.

Так как MN\parallel BC, MNCB - прямоугольник, MB=CN=3.

PK \parallel BC, и \triangle SPK \sim \triangle SBC по двум углам;

BP:SB=CK:SC=3:4;

MB:AB=3:4, тогда \triangle PBM \sim \triangle SBA по углу и двум сторонам;

\angle BPM = \angle BSA (соответственные), PM \parallel SA, значит, \alpha \parallel SA.

б) Заметим, что PM \parallel SA, MN \parallel AD, значит, \alpha \parallel (SAD) по признаку параллельности плоскостей. Значит, угол между \alpha и (SBC) равен углу между (SAD) и (SBC).

Пусть (SAD) \cap (SBC) = m.

AD \in (SAD);  AD \parallel BC \Rightarrow AD \parallel (SBC); по теореме о прямой и параллельной ей плоскости, m \parallel AD.

Пусть H - середина ADT - середина BC;

SH и ST - апофемы граней SAD и SBC.

SH \perp ADAD \parallel m, значит, SH \perp m;

аналогично, ST \perp m.

Угол между (SAD) и (SBC) - это угол между SH и ST;   \alpha = \angle HST.

Рассмотрим \triangle SHT и найдём \alpha = \angle HST по теореме косинусов.

HT=AB=4;

из \triangle SBT  : ST^2 = SB^2 - BT^2 = 49-4=45;

в \triangle SHT:

HT^2 = SH^2 +ST^2 -2 \cdot SH \cdot ST \cdot cos \alpha; 

16=90-90 cos \alpha;

1- cos \alpha =\frac{16}{90};

cos \alpha = \frac{74}{90} = \frac{37}{45};

\alpha = arccos \frac{37}{45}.

Ответ:

arccos \frac{37}{45}.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 14. Досрочный ЕГЭ-2020» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.09.2023