previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 14. Досрочный ЕГЭ-2020

Условие задачи

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:3. Плоскость \alpha содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость \alpha параллельна прямой SA.

б) Найдите угол между плоскостями \alpha и SBC.

Решение

 

Пусть \alpha - плоскость сечения.

DN:NC=SK:KC=1:3;

Значит, CN=3, DN=1.

\triangle NCK \sim \triangle DCS по углу и двум противоположным сторонам, значит NK \parallel SD.

Проведем NM\parallel BC в плоскости ABC

Тогда NM \parallel (SBC); NM \in \alpha, \alpha \cap (SBC)=KP.

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, KP \parallel MN, сечение - трапеция KNMP

Так как MN\parallel BC, MNCB - прямоугольник, MB=CN=3.

PK \parallel BC, и \triangle SPK \sim \triangle SBC по двум углам;

BP:SB=CK:SC=3:4;

MB:AB=3:4, тогда \triangle PBM \sim \triangle SBA по углу и двум сторонам;

\angle BPM = \angle BSA (соответственные), PM \parallel SA, значит, \alpha \parallel SA.

б) Заметим, что PM \parallel SA, MN \parallel AD, значит, \alpha \parallel (SAD) по признаку параллельности плоскостей. Значит, угол между \alpha и (SBC) равен углу между (SAD) и (SBC).

Пусть (SAD) \cap (SBC) = m.

AD \in (SAD);  AD \parallel BC \Rightarrow AD \parallel (SBC); по теореме о прямой и параллельной ей плоскости, m \parallel AD.

Пусть H - середина ADT - середина BC;

SH и ST - апофемы граней SAD и SBC.

SH \perp ADAD \parallel m, значит, SH \perp m;

аналогично, ST \perp m.

Угол между (SAD) и (SBC) - это угол между SH и ST;   \alpha = \angle HST.

Рассмотрим \triangle SHT и найдём \alpha = \angle HST по теореме косинусов.

HT=AB=4;

из \triangle SBT  : ST^2 = SB^2 - BT^2 = 49-4=45;

в \triangle SHT:

HT^2 = SH^2 +ST^2 -2 \cdot SH \cdot ST \cdot cos \alpha ;

16=90-90 cos \alpha;

1- cos \alpha =\frac{16}{90};

cos \alpha = \frac{74}{90} = \frac{37}{45};

\alpha = arccos \frac{37}{45}.

Ответ:

arccos \frac{37}{45}.