Решение. Задание 14. Досрочный ЕГЭ-2020

Условие задачи

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна 4, а боковое ребро $SA$ равно 7. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN:NC=SK:KC=1:3$ . Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$ .

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$ .

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $SBC$ .

Решение

Пусть $\alpha$ - плоскость сечения.

$DN:NC=SK:KC=1:3;$

Значит, $CN=3$ , $DN=1$ .

$\triangle NCK \sim \triangle DCS$ по углу и двум противоположным сторонам, значит, $NK \parallel SD$ .

Проведем $NM\parallel BC$ в плоскости $ABC.$

Тогда $NM \parallel (SBC)$ ; $NM \in \alpha$ , $\alpha \cap (SBC)=KP$ .

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, $KP \parallel MN$ , сечение - трапеция $KNMP.$

Так как $MN\parallel BC$ , $MNCB$ - прямоугольник, $MB=CN=3.$

$PK \parallel BC$ , и $\triangle SPK \sim \triangle SBC$ по двум углам;

$BP:SB=CK:SC=3:4$ ;

$MB:AB=3:4$ , тогда $\triangle PBM \sim \triangle SBA$ по углу и двум сторонам;

$\angle BPM = \angle BSA$ (соответственные), $PM \parallel SA$ , значит, $\alpha \parallel SA$ .

б) Заметим, что $PM \parallel SA$ , $MN \parallel AD$ , значит, $\alpha \parallel (SAD)$ по признаку параллельности плоскостей. Значит, угол между $\alpha$ и $(SBC)$ равен углу между $(SAD)$ и $(SBC)$ .

Пусть $(SAD) \cap (SBC) = m.$

$AD \in (SAD)$ ; $AD \parallel BC \Rightarrow AD \parallel (SBC)$ ; по теореме о прямой и параллельной ей плоскости, $m \parallel AD$ .

Пусть $H$ - середина $AD$ , $T$ - середина $BC$ ;

$SH$ и $ST$ - апофемы граней $SAD$ и $SBC$ .

$SH \perp AD$ ; $AD \parallel m$ , значит, $SH \perp m$ ;

аналогично, $ST \perp m$ .

Угол между $(SAD)$ и $(SBC)$ - это угол между $SH$ и $ST$ ; $\alpha = \angle HST$ .

Рассмотрим $\triangle SHT$ и найдём $\alpha = \angle HST$ по теореме косинусов.

$HT=AB=4;$

из $\triangle SBT : ST^2 = SB^2 - BT^2 = 49-4=45;$

в $\triangle SHT:$

$HT^2 = SH^2 +ST^2 -2 \cdot SH \cdot ST \cdot cos \alpha;$

$16=90-90 cos \alpha;$

$1- cos \alpha =\frac{16}{90};$

$cos \alpha = \frac{74}{90} = \frac{37}{45};$

$\alpha = arccos \frac{37}{45}.$

Ответ:

$arccos \frac{37}{45}.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 14. Досрочный ЕГЭ-2020» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.03.2023

Решение. Задание 14. Досрочный ЕГЭ-2020

Это полезно