Условие задачи
В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания \(AB\) равна 4, а боковое ребро \(SA\) равно 7. На рёбрах \(CD\) и \(SC\) отмечены точки \(N\) и \(K\) соответственно, причём \(DN:NC=SK:KC=1:3\). Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(KN\) и параллельна прямой \(BC\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(SA\).
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(SBC\).
Решение
Пусть \(\alpha\) - плоскость сечения.
\(DN:NC=SK:KC=1:3;\)
Значит, \(CN=3\), \(DN=1\).
\(\triangle NCK \sim \triangle DCS\) по углу и двум противоположным сторонам, значит, \(NK \parallel SD\).
Проведем \(NM\parallel BC\) в плоскости \(ABC.\)
Тогда \(NM \parallel (SBC)\); \(NM \in \alpha\), \(\alpha \cap (SBC)=KP\).
По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, \(KP \parallel MN\), сечение - трапеция \(KNMP.\)
Так как \(MN\parallel BC\), \(MNCB\) - прямоугольник, \( MB=CN=3.\)
\(PK \parallel BC\), и \(\triangle SPK \sim \triangle SBC\) по двум углам;
\( BP:SB=CK:SC=3:4\);
\(MB:AB=3:4\), тогда \(\triangle PBM \sim \triangle SBA\) по углу и двум сторонам;
\(\angle BPM = \angle BSA\) (соответственные), \(PM \parallel SA\), значит, \(\alpha \parallel SA\).
б) Заметим, что \(PM \parallel SA\), \(MN \parallel AD\), значит, \(\alpha \parallel (SAD)\) по признаку параллельности плоскостей. Значит, угол между \(\alpha\) и \((SBC)\) равен углу между \((SAD)\) и \((SBC)\).
Пусть \((SAD) \cap (SBC) = m. \)
\(AD \in (SAD)\); \(AD \parallel BC \Rightarrow AD \parallel (SBC)\); по теореме о прямой и параллельной ей плоскости, \(m \parallel AD\).
Пусть \(H\) - середина \(AD\), \(T\) - середина \(BC\);
\(SH\) и \(ST\) - апофемы граней \(SAD\) и \(SBC\).
\(SH \perp AD\); \(AD \parallel m\), значит, \(SH \perp m\);
аналогично, \(ST \perp m\).
Угол между \( (SAD) \) и \( (SBC) \) - это угол между \(SH\) и \(ST\); \(\alpha = \angle HST\).
Рассмотрим \(\triangle SHT\) и найдём \(\alpha = \angle HST\) по теореме косинусов.
\(HT=AB=4;\)
из \( \triangle SBT : ST^2 = SB^2 - BT^2 = 49-4=45;\)
в \(\triangle SHT:\)
\(HT^2 = SH^2 +ST^2 -2 \cdot SH \cdot ST \cdot cos \alpha; \)
\(16=90-90 cos \alpha;\)
\(1- cos \alpha =\displaystyle \frac{16}{90};\)
\(cos \alpha = \displaystyle \frac{74}{90} = \frac{37}{45};\)
\(\alpha = arccos\displaystyle \frac{37}{45}.\)
Ответ:
\(arccos \displaystyle \frac{37}{45}.\)
