Решение. Задание 15. Досрочный ЕГЭ-2020

Условие задачи

$log_{5}((3-x)(x^2+2))\geq log_5(x^2-7x+12)+log_{5} (5-x)$

Решение

Разложим $x^2-7x+12$ на множители.

$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$

Неравенство примет вид:

$log_{5}((3-x)(x^2+2)) \geq log_{5}(x-3)(x-4)+log_{5}(5-x)$

Неравенство равносильно системе:

$\left\{\begin{matrix}(3-x)(x^2+2)\textgreater 0 \hfill\\(x-3)(x-4)\textgreater 0 \hfill\\5-x\textgreater 0 \hfill\\log_{5}((3-x)(x^2+2)) \geq log_{5}(x-3)(x-4)(5-x)\end{matrix}\right.$

Применим формулу $log_{a} b+log_{a} c=log_{a}(bc)$

Преобразуем систему:

$\left\{\begin{matrix}3-x \textgreater 0 \hfill\\ (3-x)(4-x) \textgreater 0 \hfill\\ 5-x \textgreater 0 \hfill\\(3-x)(x^2+2)\geq (3-x)(4-x)(5-x)\end{matrix}\right.$

(воспользовались свойством монотонного возрастания показательной функции с основанием 5)

$\left\{\begin{matrix}3-x \textgreater 0 \hfill\\ 4-x \textgreater 0 \hfill\\ 5-x \textgreater 0 \hfill\\x^2+2 \geq (4-x)(5-x)\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x \textless 3 \hfill\\ x \textless 4 \hfill\\ x \textless 5 \hfill\\ x^2+2 \geq (x-4)(x-5)\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x \textless 3 \hfill\\ x^2+2 \geq x^2-9x+20\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x \textless 3 \hfill\\20-9x \leq 2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x \textless 3 \hfill\\ 9x \geq 18\end{matrix}\right. \Leftrightarrow 2 \leq x \textless 3$

Ответ:

$x \in [2;3)$

Решение. Задание 15. Досрочный ЕГЭ-2020

Это полезно