Условие задачи
\(log_{5}((3-x)(x^2+2))\geq log_5(x^2-7x+12)+log_{5} (5-x).\)
Решение
Разложим \(x^2-7x+12\) на множители:
\(x^2-7x+12=(x-3)(x-4).\)
Неравенство примет вид:
\(log_{5}((3-x)(x^2+2)) \geq log_{5}(x-3)(x-4)+log_{5}(5-x).\)
Неравенство равносильно системе:
\(\left\{\begin{matrix}(3-x)(x^2+2)> 0,
\\(x-3)(x-4)> 0 ,
\\5-x> 0 ,
\\log_{5}((3-x)(x^2+2)) \geq log_{5}(x-3)(x-4)(5-x). \end{matrix}\right. \)
Применим формулу \( log_{a} b+log_{a} c=log_{a}(bc).\)
Преобразуем систему:
\(\left\{\begin{matrix}3-x > 0,
\\ (3-x)(4-x)> 0 ,
\\ 5-x > 0 ,
\\(3-x)(x^2+2)\geq (3-x)(4-x)(5-x). \end{matrix}\right. \)
(Воспользовались свойством монотонного возрастания показательной функции с основанием 5).
\( \left\{\begin{matrix}3-x > 0,
\\ 4-x > 0 ,
\\ 5-x > 0 ,
\\x^2+2 \geq (4-x)(5-x);\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x< 3 ,
\\ x < 4,
\\ x < 5 ,
\\ x^2+2 \geq (x-4)(x-5); \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x < 3 ,
\\ x^2+2 \geq x^2-9x+20; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x < 3 ,
\\20-9x \leq 2; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x < 3 ,
\\ 9x \geq 18; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 2 \leq x < 3 .\)
Ответ:
\(x \in [2;3).\)
