Условие задачи
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7.5 млн рублей?
Решение
\(S = 5\) млн руб.;
\(n\) лет;
\(p = 20\)%;
\(B = 7,5\) млн. руб.
По формуле для величины переплаты по кредиту:
\(\Pi=\displaystyle\frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}\cdot S\).
Здесь \(\Pi\) - переплата, \(\Pi =B-S\);
\(\Pi =7,5-5=2,5\) млн. руб.;
\(2,5 = \displaystyle\frac{n+1}{2}\cdot \frac{20}{100}\cdot 5\);
\((n+1)\cdot \displaystyle\frac{1}{5}=1\);
\(n+1=5\);
\(n=4.\)
Выведем формулу для величины переплаты. Пусть \(n\) - количество платёжных периодов, \(p\) - процент банка, \(S\) - сумма кредита, \(k=1+\displaystyle\frac{p}{100}\).
Схема погашения кредита при равномерном уменьшении суммы долга:
Запишем, чему равны выплаты:
1 выплата: \(Z_1 = s\cdot k - S \cdot \displaystyle\frac{n-1}{n};\)
2 выплата: \(Z_2 = S \cdot \displaystyle\frac{n-1}{n}\cdot k - S \cdot \frac{n-2}{n};\)
...
\(n\)-ая выплата: \(Z_n = S \cdot \displaystyle\frac{1}{n} \cdot k.\)
Сумма всех выплат:
\(B = Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n;\)
\(B = S \cdot k \cdot \left(1+\displaystyle\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{2}+ \dots +\frac{1}{n}\right) - S \left(\displaystyle\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+ \dots +\frac{1}{n}\right)=\)
\(= S \cdot k \cdot \left(\displaystyle\frac{1+\frac{1}{n}}{2} \cdot n\right) - S \cdot \left(\displaystyle\frac{1+n-1}{2 \cdot n}(n-1)\right).\)
(воспользовались формулой суммы арифметической прогрессии),
\(B = S \cdot k \cdot \left(\displaystyle\frac{n+1}{2}\right) - S \cdot \left(\displaystyle\frac{n-1}{2}\right) \).
Так как \(k = 1+ \displaystyle\frac{p}{100}\), получим:
\(B = S \cdot\displaystyle \frac{n+1}{2} + S \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{n+1}{2} - S \cdot \frac{n-1}{2}=\)
\(=S + S \cdot \displaystyle\frac{p}{100} \cdot \frac{n+1}{2} = S+\Pi\), где \(\Pi=\displaystyle\frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100} \cdot S\).
Ответ:
4.
