Решение. Задание 17. Досрочный ЕГЭ-2020

Условие задачи

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7.5 млн рублей?

Решение

S = 5 млн руб;

n лет;

p = 20%;

B = 7,5 млн. руб.

По формуле для величины переплаты по кредиту:

П = $\frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}\cdot S$ .

Здесь П - переплата, П = В - S;

П = 7,5 - 5 = 2,5 млн. руб.;

$2,5 = \frac{n+1}{2}\cdot \frac{20}{100}\cdot 5$ ;

$(n+1)\cdot \frac{1}{5}=1$ ;

$n+1=5$ ;

$n=4.$

Выведем формулу для величины переплаты. Пусть n - количество платёжных периодов, p - процент банка, S - сумма кредита, $k=1+\frac{p}{100}$ .

Схема погашения кредита при равномерном уменьшении суммы долга:

Запишем, чему равны выплаты:

1 выплата: $Z_1 = s\cdot k - S \cdot \frac{n-1}{n};$

2 выплата: $Z_2 = S \cdot \frac{n-1}{n}\cdot k - S \cdot \frac{n-2}{n};$

...

n-ая выплата: $Z_n = S \cdot \frac{1}{n} \cdot k.$

Сумма всех выплат:

$B = Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n;$

$B = S \cdot k \cdot (1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{2}+ \dots +\frac{1}{n}) - S (\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+ \dots +\frac{1}{n})=$

$= S \cdot k \cdot (\frac{1+\frac{1}{n}}{2} \cdot n) - S \cdot (\frac{1+n-1}{2 \cdot n}(n-1))$

(воспользовались формулой суммы арифметической прогрессии),

$B = S \cdot k \cdot (\frac{n+1}{2}) - S \cdot (\frac{n-1}{2})$ .

Так как $k = 1+ \frac{p}{100}$ , получим:

$B = S \cdot \frac{n+1}{2} + S \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{n+1}{2} - S \cdot \frac{n-1}{2}=$

$=S + S \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{n+1}{2} = S+$ П, где П= $\frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100} \cdot S$ .

Ответ:

Это полезно