previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 17. Досрочный ЕГЭ-2020

Условие задачи

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года:

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга:

—  в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7.5 млн рублей?

Решение

S = 5 млн руб

n лет;

p = 20%;

B = 7,5 млн. руб

По формуле для величины переплаты по кредиту:

П = \frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}\cdot S.

Здесь П - переплата, П = В - S;

П = 7,5 - 5 = 2,5 млн. руб.

2,5 = \frac{n+1}{2}\cdot \frac{20}{100}\cdot 5;

(n+1)\cdot \frac{1}{5}=1;

n+1=5;

n=4.

Выведем формулу для величины переплаты. Пусть n - количество платёжных периодов, p - процент банка, S - сумма кредита,

k=1+\frac{p}{100}.

Схема погашения кредита при равномерном уменьшении суммы долга:

Запишем, чему равны выплаты:

1 выплата: Z_1 = s\cdot k - S \cdot \frac{n-1}{n}

2 выплата: Z_2 = S \cdot \frac{n-1}{n}\cdot k - S \cdot \frac{n-2}{n}

...

n-ая выплата: Z_n = S \cdot \frac{1}{n} \cdot k

Сумма всех выплат

B = Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n;

B = S \cdot k \cdot (1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{2}+ \dots +\frac{1}{n}) - S (\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+ \dots +\frac{1}{n})=

= S \cdot k \cdot (\frac{1+\frac{1}{n}}{2} \cdot n) - S \cdot (\frac{1+n-1}{2 \cdot n}(n-1))

(воспользовались формулой суммы арифметической прогрессии),

B = S \cdot k \cdot (\frac{n+1}{2}) - S \cdot (\frac{n-1}{2}) ,

так как k = 1+ \frac{p}{100}, получим:

B = S \cdot \frac{n+1}{2} + S \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{n+1}{2} - S \cdot \frac{n-1}{2}=

=S + S \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{n+1}{2} = S+П, где П=\frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100} \cdot S.

Ответ: 4