Условие задачи
Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение
\(\displaystyle\frac{9x^2-a^2}{x^2+8x+16-a^2}=0\) имеет ровно два различных корня.
Решение
Уравнение равносильно системе:
\( \left\{\begin{matrix}9x^2-a^2=0,
\\x^2+8x+16-a^2\ne 0.\end{matrix}\right. \)
Сделаем замену: \(a^2=b, \, b\geq 0\). Получим:
\( \left\{\begin{matrix}b=9x^2,
\\b\ne (x+4)^2. \end{matrix}\right. \)
Решим систему графически в координатах \(x; \; b\). Первое уравнение задаёт параболу с ветвями вверх, растянутую в 9 раз по вертикали; вершина \(O(0;0).\)
Уравнение \(b=(x+4)^2\) задаёт параболу с ветвями вверх, вершина которой имеет координаты \(P(-4;0).\)
Найдём абсциссы точек \(A\) и \(B\), в которых пересекаются графики функций \(b=9x^2\) и \(b=(x+4)^2.\)
\(9x^2=(x+4)^2 \Leftrightarrow 9x^2-(x+4)^2=0 \Leftrightarrow (3x-x-4)(3x+x+4)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
x=2, \\x=-1.
\end{matrix}\right.\)
Точка \(A(-1;9).\)
Точка \(B(2;36).\)
Исходное уравнение имеет ровно два различных корня при положительных \(b\), не равных 9 и 36.
\( \left\{\begin{matrix}b> 0,
\\ b \neq 9 ,
\\ b\neq 36. \end{matrix}\right. \)
Вернёмся к переменной \(a\).
\( \left\{\begin{matrix}a^2 > 0,
\\ a^2 \neq 9 ,
\\a^2 \neq 36; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\neq 0 ,
\\ a\neq-3,\, a\ne 3 ,
\\a\neq -6, \, a\ne 6 . \end{matrix}\right. \)
Ответ:
\( a\in (-\infty; -6) \cup (-6;-3) \cup (-3;0) \cup (0;3) \cup (3;6) \cup (6;+\infty) \).
