previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 18. Досрочный ЕГЭ-2020

Условие задачи

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

\frac{9x^2-a^2}{x^2+8x+16-a^2}=0

имеет ровно два различных корня.

Решение

Уравнение равносильно системе:

\left\{\begin{matrix}9x^2-a^2=0 \hfill\\x^2+8x+16-a^2\ne 0\end{matrix}\right.

Сделаем замену a^2=b, \, b\geq 0. Получим:

\left\{\begin{matrix}b=9x^2 \hfill\\b\ne (x+4)^2\end{matrix}\right.

Решим систему графически в координатах x; b. Первое уравнение задаёт параболу с ветвями вверх, растянутую в 9 раз по вертикали; вершина O(0;0)

Уравнение b=(x+4)^2 задаёт параболу с ветвями вверх, вершина которой имеет координаты P(-4;0)

Найдём абсциссы точек A и B, в которых пересекаются графики функций b=9x^2 и b=(x+4)^2

9x^2=(x+4)^2 \Leftrightarrow 9x^2-(x+4)^2=0 \Leftrightarrow

Точка A(-1;9)

Точка B(2;36).

Исходное уравнение имеет ровно два различных корня при положительных b, не равных 9 и 36.

\left\{\begin{matrix}b \textgreater 0 \hfill\\ b \ne 9 \hfill\\ b\ne 36\end{matrix}\right.

Вернёмся к переменной a.

\left\{\begin{matrix}a^2 \textgreater 0 \hfill\\ a^2 \ne 9 \hfill\\a^2 \ne 36 \hfill\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a\ne 0 \hfill\\ a\ne -3; \, a\ne 3 \hfill\\a\ne -6;  \, a\ne 6 \hfill\end{matrix}\right.

Ответ:

a\in (-\infty; -6) \cup (-6;-3) \cup (-3;0) \cup (0;3) \cup (3;6) \cup (6;+\infty) .