Решение. Задание 18. Досрочный ЕГЭ-2020

Условие задачи

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$\frac{9x^2-a^2}{x^2+8x+16-a^2}=0$

имеет ровно два различных корня.

Решение

Уравнение равносильно системе:

$\left\{\begin{matrix}9x^2-a^2=0 \hfill\\x^2+8x+16-a^2\ne 0\end{matrix}\right.$

Сделаем замену $a^2=b, \, b\geq 0$ . Получим:

$\left\{\begin{matrix}b=9x^2 \hfill\\b\ne (x+4)^2\end{matrix}\right.$

Решим систему графически в координатах $x; b$ . Первое уравнение задаёт параболу с ветвями вверх, растянутую в 9 раз по вертикали; вершина $O(0;0)$

Уравнение $b=(x+4)^2$ задаёт параболу с ветвями вверх, вершина которой имеет координаты $P(-4;0)$

Найдём абсциссы точек A и B, в которых пересекаются графики функций $b=9x^2$ и $b=(x+4)^2$

$9x^2=(x+4)^2 \Leftrightarrow 9x^2-(x+4)^2=0 \Leftrightarrow$

Точка $A(-1;9)$

Точка $B(2;36)$ .

Исходное уравнение имеет ровно два различных корня при положительных b, не равных 9 и 36.

$\left\{\begin{matrix}b \textgreater 0 \hfill\\ b \ne 9 \hfill\\ b\ne 36\end{matrix}\right.$

Вернёмся к переменной a.

$\left\{\begin{matrix}a^2 \textgreater 0 \hfill\\ a^2 \ne 9 \hfill\\a^2 \ne 36 \hfill\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a\ne 0 \hfill\\ a\ne -3; \, a\ne 3 \hfill\\a\ne -6; \, a\ne 6 \hfill\end{matrix}\right.$

Ответ:

$a\in (-\infty; -6) \cup (-6;-3) \cup (-3;0) \cup (0;3) \cup (3;6) \cup (6;+\infty)$ .

Решение. Задание 18. Досрочный ЕГЭ-2020

Это полезно