Решение. Задание 19. Досрочный ЕГЭ-2020

Условие задачи

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли n быть больше 5?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Решение

n дней; на доске числа $a_{i};$

$a_{i}\leq 5.$

Пусть $x_k$ - количество чисел на доске в k-тый день;

$S_k$ - их сумма.

По условию,

$x_1 \textgreater x_2 \dots \textgreater x_n;$

$S_1 \textless S_2 \dots \textless S_n.$

а) Да, может. Пусть $n=6.$

Пример:

1 день	1 1 1 1 1 1 1 1	$x_1=8; \, S_1=8$
2 день	1 1 1 1 1 1 2 2	$x_2=7; \, S_2=9$
3 день	1 1 2 2 2 2	$x_3=6; \, S_3=10$
4 день	2 2 2 2 3	$x_4=5; \, S_4=11$
5 день	3 3 3 3	$x_5=4; \, S_5=12$
6 день	3 5 5	$x_6=3; \, S_6=13$

б) Может ли быть $\frac{S_1}{x_1}\textless 3$ и $\frac{S}{X} \textgreater 4$ ? (здесь Х - количество всех чисел на доске, S - их сумма).

Да, может.

Пример:

1 день

$x_1=11$ ,

$\frac{S_1}{X_1}=\frac{32}{11}\textless 3$

$S_1=32$ ,

2 день

$x_2=10$ ,

$S_2=44$ ,

3 день

$x_3=9$ ,

$S_3=45$ ,

Тогда $\frac{S}{X}=\frac{32+44+45}{11+9+10}=\frac{121}{30}\textgreater 4$ .

в) Известно, что $S_1=6$ .

Найти $S_{max}$ , где S - сумма чисел за все дни.

Так как $S_1 =6$ , $x_1 \leq6$ .

Тогда:

$x_2 \leq5$ , $S_2 \geq7$

$x_3 \leq4$ , $S_3 \geq8$

$x_4 \leq3$ , $S_4 \geq9$

$x_5 \leq2$ , $S_5 \geq10$

В пятый день надо записать не менее двух чисел, причем их сумма не больше 10. Значит, в 5-й день можно записать только числа 5 и 5, и количество дней не больше 5: $n \leq 5$ .

1. Если $n=5$ , получим, что $S_5 = 10$ ;

$S_4\leq 9$ ; $S_3\leq 8$ ; $S_2\leq 7$ ; $S_1 = 6.$

Тогда $S_2=7$ , $S_3=8$ , $S_4=9$ ,

$S=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5=6+7+8+9+10=40$ .

2) Если $n=4$ , $x_4=3$ , $S_4\leq 15$ .

Пусть $S_4=15$ .

Тогда $S_3\leq 14$ , $S_2 \leq 13$ .

Приведём пример для $S_2=13$ , $S_3=14$ , $S_4=15:$

1 день	1 1 1 1 1 1	$x_1=6$	$S_1=6$
2 день	2 2 3 3 3	$x_2=5$	$S_2=13$
3 день	2 2 5 5	$x_3=4$	$S_3=14$
4 день	5 5 5	$x_4=3$	$S_4=15$

В этом случае $S=15+14+13+6=48 \textgreater 40$ .

3) Если $n=3$ , то $S_3 \leq 20 = 5\cdot 4.$

Тогда $S_2\leq 19$ ,

$S\leq 20+19+6$ ; $S\leq 45 \textless 48,$

4) Если $n=2$ , то $S_2 \leq 5 \cdot 5$ ,

$S \leq 6+25=31$ .

Ответ:

а) Да, может.

б) Да, может.

в) Наибольшее значение суммы всех чисел на доске равно 48 при $n=4.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 19. Досрочный ЕГЭ-2020» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 06.09.2023

Решение. Задание 19. Досрочный ЕГЭ-2020

Это полезно