Условие задачи
В течение \(n\) дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли \(n\) быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Решение
\(n\) дней; на доске числа \(a_{i};\)
\(a_{i}\leq 5.\)
Пусть \(x_k\) - количество чисел на доске в \(k\)-тый день;
\(S_k\) - их сумма.
По условию,
\(x_1 > x_2 \dots > x_n;\)
\( S_1 < S_2 \dots < S_n.\)
а) Да, может. Пусть \(n=6.\)
Пример:
| 1 день | 1 1 1 1 1 1 1 1 | \(x_1=8; \, S_1=8\) |
| 2 день | 1 1 1 1 1 1 2 2 | \(x_2=7; \, S_2=9\) |
| 3 день | 1 1 2 2 2 2 | \(x_3=6; \, S_3=10\) |
| 4 день | 2 2 2 2 3 | \(x_4=5; \, S_4=11\) |
| 5 день | 3 3 3 3 | \(x_5=4; \, S_5=12\) |
| 6 день | 3 5 5 | \(x_6=3; \, S_6=13\) |
б) Может ли быть \(\displaystyle \frac{S_1}{x_1}< 3\) и \(\displaystyle \frac{S}{X} > 4\)? (здесь \(X\) - количество всех чисел на доске, \(S\) - их сумма).
Да, может.
Пример:
| 1 день \(\underset{10 \; троек}{\underbrace{3 \; \; 3 \; \; \cdots \; \; 3}} \; \; 2\) | \(x_1=11\),
\(\displaystyle \frac{S_1}{X_1}=\frac{32}{11}< 3\) |
\(S_1=32\) |
| 2 день \(\underset{8 \; пятерок}{\underbrace{5 \; \; 5 \; \; 5 \; \; \cdots \; \; 5}} \; \; 3 \; \; 1 \) | \(x_2=10\) | \(S_2=44\) |
| 3 день \( \underset{8 \; пятерок}{\underbrace{5 \; \; 5 \; \; \cdots \; \; 5}} \) | \(x_3=9\) | \(S_3=45\) |
Тогда \(\displaystyle \frac{S}{X}=\frac{32+44+45}{11+9+10}=\frac{121}{30}> 4\).
в) Известно, что \(S_1=6\).
Найти \(S_{max}\) , где \(S\) - сумма чисел за все дни.
Так как \(S_1 =6, \; x_1 \leq6\).
Тогда:
\(x_2 \leq5\), \(S_2 \geq7\)
\(x_3 \leq4\), \(S_3 \geq8\)
\(x_4 \leq3\), \(S_4 \geq9\)
\(x_5 \leq2\), \(S_5 \geq10\)
В пятый день надо записать не менее двух чисел, причем их сумма не больше 10. Значит, в 5-й день можно записать только числа 5 и 5, и количество дней не больше 5: \(n \leq 5\).
1. Если \(n=5\), получим, что \(S_5 = 10\);
\(S_4\leq 9\); \(\; S_3\leq 8\); \(\; S_2\leq 7\); \(\; S_1 = 6.\)
Тогда \(S_2=7\), \(\; S_3=8\), \(\; S_4=9\),
\(S=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5=6+7+8+9+10=40\).
2) Если \(n=4\), \(\; x_4=3\), \(\; S_4\leq 15\).
Пусть \(S_4=15\).
Тогда \(S_3\leq 14\), \(\; S_2 \leq 13\).
Приведём пример для \( S_2=13\), \( \; S_3=14\), \(\; S_4=15:\)
| 1 день | 1 1 1 1 1 1 | \(x_1=6\) | \(S_1=6\) |
| 2 день | 2 2 3 3 3 | \(x_2=5\) | \(S_2=13\) |
| 3 день | 2 2 5 5 | \(x_3=4\) | \(S_3=14\) |
| 4 день | 5 5 5 | \(x_4=3\) | \(S_4=15\) |
В этом случае \(S=15+14+13+6=48 > 40\).
3) Если \(n=3\), то \( S_3 \leq 20 = 5\cdot 4.\)
Тогда \(S_2\leq 19\),
\(S\leq 20+19+6\); \(S\leq 45 < 48,\)
4) Если \(n=2\), то \(S_2 \leq 5 \cdot 5\),
\(S \leq 6+25=31\).
Ответ:
а) Да, может.
б) Да, может.
в) Наибольшее значение суммы всех чисел на доске равно 48 при \(n=4.\)
