Условие задачи
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Решение
n дней; на доске числа
Пусть - количество чисел на доске в k-тый день;
- их сумма.
По условию,
а) Да, может. Пусть
Пример:
1 день | 1 1 1 1 1 1 1 1 | |
2 день | 1 1 1 1 1 1 2 2 | |
3 день | 1 1 2 2 2 2 | |
4 день | 2 2 2 2 3 | |
5 день | 3 3 3 3 | |
6 день | 3 5 5 |
б) Может ли быть и
? (здесь Х - количество всех чисел на доске, S - их сумма).
Да, может.
Пример:
1 день ![]() |
||
2 день ![]() |
||
3 день ![]() |
Тогда .
в) Известно, что .
Найти , где S - сумма чисел за все дни.
Так как ,
.
Тогда:
,
,
,
,
В пятый день надо записать не менее двух чисел, причем их сумма не больше 10. Значит, в 5-й день можно записать только числа 5 и 5, и количество дней не больше 5: .
1. Если , получим, что
;
;
;
;
Тогда ,
,
,
.
2) Если ,
,
.
Пусть .
Тогда ,
.
Приведём пример для ,
,
1 день | 1 1 1 1 1 1 | |
|
2 день | 2 2 3 3 3 | |
|
3 день | 2 2 5 5 | |
|
4 день | 5 5 5 | |
|
В этом случае .
3) Если , то
Тогда ,
;
4) Если , то
,
.
Ответ:
а) Да, может.
б) Да, может.
в) Наибольшее значение суммы всех чисел на доске равно 48 при
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 19. Досрочный ЕГЭ-2020» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 06.09.2023