previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 19. Досрочный ЕГЭ-2020

Условие задачи

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли n быть больше 5?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Решение

n дней; на доске числа a_{i}

a_{i}\leq 5

Пусть x_k - количество чисел на доске в k-тый день;

S_k - их сумма.

По условию,

x_1 \textgreater x_2 \dots \textgreater x_n

S_1 \textless S_2 \dots \textless S_n

а) Да, может. Пусть n=6

Пример:

1 день 1 1 1 1 1 1 1 1 x_1=8; \, S_1=8
2 день 1 1 1 1 1 1 2 2 x_2=7; \, S_2=9
3 день 1 1 2 2 2 2 x_3=6; \, S_3=10
4 день 2 2 2 2 3 x_4=5; \, S_4=11
5 день 3 3 3 3 x_5=4; \, S_5=12
6 день 3 5 5 x_6=3; \, S_6=13

б) Может ли быть \frac{S_1}{x_1}\textless 3 и  \frac{S}{X} \textgreater 4? (здесь Х - количество всех чисел на доске, S - их сумма)

Да, может.

Пример:

1 день  x_1=11,

\frac{S_1}{X_1}=\frac{32}{11}\textless 3

S_1=32,
2 день  x_2=10, S_2=44,
3 день  x_3=9, S_3=45,

Тогда \frac{S}{X}=\frac{32+44+45}{11+9+10}=\frac{121}{30}\textgreater 4.

(пример Саши Мамонова)

в) Известно, что S_1=6.

Найти S_{max} , где S - сумма чисел за все дни.

Так как S_1 =6,        x_1 \leq6.

Тогда

x_2 \leq5,        S_2 \geq7

x_3 \leq4,        S_3 \geq8

x_4 \leq3,        S_4 \geq9

x_5 \leq2,        S_5 \geq10

В пятый день надо записать не менее двух чисел, причем их сумма не больше 10. Значит, в 5-й день можно записать только числа 5 и 5, и количество дней не больше 5: n \leq 5.

1. Если n=5, получим, что S_5 = 10;

S_4\leq 9S_3\leq 8S_2\leq 7S_1 = 6;.

Тогда S_2=7S_3=8S_4=9,

S=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5=6+7+8+9+10=40.

2) Если n=4,   x_4=3S_4\leq 15.

Пусть S_4=15.

Тогда S_3\leq 14,   S_2 \leq 13.

Приведём пример для S_2=13S_3=14S_4=15.

1 день 1 1 1 1 1 1 x_1=6  S_1=6
2 день 2 2 3 3 3  x_2=5  S_2=13
3 день 2 2 5 5  x_3=4  S_3=14
4 день 5 5 5  x_4=3  S_4=15

В этом случае S=15+14+13+6=48 \textgreater 40.

3) Если n=3, то S_3 \leq 20 = 5\cdot 4

Тогда S_2\leq 19,

S\leq 20+19+6;   S\leq 45 \textless 48

4) Если n=2, то S_2 \leq 5 \cdot 5,

S \leq 6+25=31.

Ответ:

а) Да, может

б) Да, может

в) Наибольшее значение суммы всех чисел на доске равно 48 при n=4.