13. а) Решите уравнение: \(\cos 2x + \sqrt{2} \cos \left ( \displaystyle \frac{\pi}{2} - x \right ) - 1 =0. \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left [ \displaystyle \frac{5 \pi}{2}; 4 \pi \right ]\).
14. В правильной шестиугольной пирамиде \(SABCDEF\) боковое ребро \( SA= 14\), а сторона \(AB = 8\). Точка \(M\) середина стороны \(AB\) Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(M\) и \(D\) и перпендикулярна плоскости \(ABC\). Прямая \(SC\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(K\).
a) Докажите, что \(MK = KD.\)
б) Найдите объем пирамиды \(MCDK.\)
15. Решите неравенство: \(x^2 log_{243}\left ( 4-x \right ) \leq log_{3} \left ( x^2 -8x+16 \right ).\)
16. Две окружности касаются внутренним образом в точке \(C\). Вершины \(A\) и \(B\) равнобедренного прямоугольного треугольника \(ABC\) c прямым углом \(C\) лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая \(AC\) вторично пересекает меньшую окружность в точке \(D\). Прямая \(BC\) вторично пересекает большую окружность в точке \(E\).
а) Докажите, что \(AE\) параллельно \(BD\).
б) Найдите \(AC\), если радиусы окружностей равны 8 и 15.
17. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
– в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом;
– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.
Определите, на какую сумму взяли кредита банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.
18. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений
\(\left\{\begin{matrix}
log_3\left ( a-x^2 \right ) = log_3\left ( a-y^2 \right ),\\
x^2 +y^2 = 4x+6y \hfill\end{matrix}\right.\) имеет ровно два различных решения.
19. На доске написано \(n\) единиц, между некоторыми из которых поставили знаки «+» и посчитали сумму. Например, если изначально было написано \(n = 12\) единиц, то могла получиться, например, такая сумма:
\(1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.\)
а) Могла ли сумма равняться 150, если \(n = 60\)?
б) Могла ли сумма равняться 150, если \(n = 80\)?
в) Чему могло равняться \(n\), если полученная сумма чисел равна 150?
Видеоразбор варианта >> здесь
