previous arrow
next arrow
Slider

ЕГЭ-2020 по математике. Московский вариант. Условия задач.

13. а) Решите уравнение

\cos 2x + \sqrt{2} \cos \left ( \displaystyle \frac{\pi}{2} - x \right ) - 1 =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left [ \displaystyle \frac{5 \pi}{2}; 4 \pi \right ].

14. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA = 14, а сторона AB = 8. Точка М середина стороны AB Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.

a) Докажите, что MK = KD.

б) Найдите объем пирамиды MCDK.

15. Решите неравенство

x^2 log_{243}\left ( 4-x \right ) \leq log_{3} \left ( x^2 -8x+16 \right ).

16. Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC c прямым углом C лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. Прямая BC вторично пересекает большую окружность в точке E.

а) Докажите, что AE параллельно BD.

б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.

17. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
– в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом;
– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.
Определите, на какую сумму взяли кредита банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.

18. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

\left\{\begin{matrix}log_3\left ( a-x^2 \right ) = log_3\left ( a-y^2 \right ),\\x^2 +y^2 = 4x+6y \hfill\end{matrix}\right.

имеет ровно два различных решения.

19. На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма:

1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.

а) Могла ли сумма равняться 150, если n = 60?

б) Могла ли сумма равняться 150, если n = 80?

в) Чему могло равняться n, если полученная сумма чисел равна 150?

 

Видеоразбор варианта >> здесь