previous arrow
next arrow
Slider

ЕГЭ-2020 по математике. Московский вариант. Условия задач.

13. а) Решите уравнение

\cos 2x + \sqrt{2} \cos \left ( \displaystyle \frac{\pi}{2} - x \right ) - 1 =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left [ \displaystyle \frac{5 \pi}{2}; 4 \pi \right ].

14. В правильной шестиугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 боковое ребро 𝑆𝐴 = 14, а сторона 𝐴𝐵 = 8. Точка М середина стороны 𝐴𝐵 Плоскость 𝛼 проходит через точки 𝑀 и 𝐷 и перпендикулярна плоскости 𝐴𝐵𝐶. Прямая 𝑆𝐶 пересекает плоскость 𝛼 в точке 𝐾.

a) Докажите, что 𝑀𝐾 = 𝐾𝐷.
б) Найдите обьем пирамиды 𝑀𝐶𝐷𝐾.

15. Решите неравенство

x^2 log_{243}\left ( 4-x \right ) \leq log_{3} \left ( x^2 -8x+16 \right ).

16. Две окружности касаются внутренним образом в точке 𝐶. Вершины 𝐴 и 𝐵 равнобедренного прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 c прямым углом 𝐶 лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая 𝐴𝐶 вторично пересекает меньшую окружность в точке 𝐷. Прямая 𝐵𝐶 вторично пересекает большую окружность в точке 𝐸.

а) Докажите, что 𝐴𝐸 параллельно 𝐵𝐷.
б) Найдите 𝐴𝐶, если радиусы окружностей равны 8 и 15.

17. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
– в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом;
– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.
Определите, на какую сумму взяли кредита банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.

18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых система уравнений

\left\{\begin{matrix}log_3\left ( a-x^2 \right ) = log_3\left ( a-y^2 \right ),\\x^2 +y^2 = 4x+6y \hfill\end{matrix}\right.

имеет ровно два различных решения.

19. На доске написано 𝑛 единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано 𝑛 = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма: 1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.
а) Могла ли сумма равняться 150, если 𝑛 = 60?
б) Могла ли сумма равняться 150, если 𝑛 = 80?
в) Чему могло равняться 𝑛, если полученная сумма чисел равна 150?