previous arrow
next arrow
Slider

Если расстояние между центрами окружностей радиусами R и r равно а и \sqrt{a^2-\left ( R-r \right )^2} и \sqrt{a^2-\left ( R+r \right )^2}

Анна Малкова

1) Рассмотрим внешнюю касательную MN к непересекающимся окружностям радиусов R и r.

Задача решается в одно действие, а схему решения желательно запомнить – пригодится в задачах ЕГЭ.

Четырехугольник O_1O_2NM – прямоугольная трапеция, так как O_1M \perp MN, O_2N \perp MN (как радиус и касательная) \Rightarrow O_1M\parallel O_2N.

Проведем O_2F\parallel MN,\ \ \angle MFO_2=90{}^\circ.

Из \vartriangle O_1O_2F:\ \ \ \ \ FO_2=\sqrt{O_1O^2_2-O_1F^2}(по теореме Пифагора).

При этом O_1F=R-r,\ \ O_2F=MN (так как FMNO_2 – прямоугольник по построению).

Получаем:
MN=\sqrt{a^2-{(R-r)}^2}..

2) Теперь внутреннее касание.

Даны окружности с центрами O_1 и O_2 и радиусами R и r.

Точки касания общей внутренней касательной – P и K соответственно, расстояние между центрами окружностей a=O_1 \, \, O_2.

Докажем, что PK=\sqrt{a^2-{(R+r)}^2}..

Продолжим O_2K (радиус меньшей окружности). Из точки O_1 опустим перпендикуляр O_1F\bot O_2K. Получим, что FKPO_1 – прямоугольник \left (O_1F\parallel PK,\ \ \angle P=90{}^\circ \right ).
В треугольнике O_1O_2F имеем:
O_1O_2=a, O_2F=r+KF=r+R.
FO_1=\sqrt{a^2-{(r+R)}^2} (по теореме Пифагора).

Поскольку FPKO_1 – прямоугольник, O_1F=PK.
PK=\sqrt{a^2-{(r+R)}^2}, что и требовалось доказать.