Анна Малкова
Формула Бернулли применяется в задачах, где проводится серия из \(n\) независимых одинаковых испытаний.
Например: \(n\) раз бросаем симметричную монету. Вероятность выпадения орла при каждом броске равна \(\frac{1}{2}\). По формуле Бернулли можно посчитать вероятность того, что из 10 бросков монеты ровно 7 раз выпадет орел.
Другая ситуация: фабрика производит детали, причем с вероятностью \(p\) деталь оказывается бракованной. По формуле Бернулли можно найти вероятность того, что из 100 деталей только 3 окажутся бракованными.
Пусть проводится \(n\) одинаковых независимых испытаний.
И пусть в результате одного такого испытания событие А может произойти с вероятностью \(p\) или не произойти с вероятностью \(1-p\).
Вероятность \(P_{n}^{k}\) того, что в \(n\) независимых испытаниях некоторое случайное событие A наступит ровно \(k\) раз, равна:
\(P_{n}^{k}=C_{n}^{k} p^k q^{n-k}\)
В этой формуле:
\(p\) - вероятность появления события A в каждом испытании;
\(q=1-p\) - вероятность непоявления события A в каждом испытании.
\(C_{n}^{k}\) (читается: Цэ из эн по ка) – это число сочетаний из \(n\) по \(k\), то есть количество неупорядоченных \(k\)-элементных выборок, которые можно составить из n элементов. В комбинаторике доказывается, что
\(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
То, что вы видите в формуле, – это не восклицательные знаки. Это факториалы.
Здесь \(n!\) (читается: эн факториал) – это произведение натуральных чисел от 1 до \(n\).
По определению, \(0! = 1\).
1. ЕГЭ Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
Решение:
Вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна \(\frac{1}{2}\), вероятность решки тоже \(\frac{1}{2}\). Посчитаем вероятность того, что из 10 бросков монеты выпадет ровно 5 орлов.
\(P_1=C_{10}^5 \cdot (\frac{1}{2})^5 \cdot (\frac{1}{2})^5=\frac{10!}{5! \cdot 5! \cdot 2^{10}}\)
Вероятность выпадения ровно 4 орлов равна
\(P_2=C_{10}^4 \cdot (\frac{1}{2})^4 \cdot (\frac{1}{2})^6=\frac{10!}{4! \cdot 6! \cdot 2^{10}}\)
Найдем, во сколько раз \(P_1\) больше, чем \(P_2\).
\(P_1:P_2=\frac{10!}{5! \cdot 5! \cdot 2^{10}}:\frac{10!}{4! \cdot 6! \cdot 2^{10}}=\frac{4! \cdot 6!}{5! \cdot 5! }=\frac{6}{5}=1,2\).
Ответ: 1,2
Следующие две задачи похожи. Но в одной из них применяется формула Бернулли, а в другой – нет.
2. Анна Малкова
Группа туристов планирует треккинг в горной местности. Известно, что в это время года погода в данном районе в случайно выбранный день хорошая с вероятностью \(\frac{1}{3}\). Найдите вероятность того, что погода будет хорошей ровно 2 дня из 5 дней треккинга, а в остальные дни – плохая. Ответ округлите до сотых.
Решение:
Вероятность того, что ровно 2 дня из пяти погода хорошая, найдем по формуле Бернулли:
\(P_5^2=C_{5}^2 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^3=\frac{5!}{2! \cdot 3!} \cdot \frac{2^3}{3^5}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 2^3}{2\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 3^5}=\frac{5\cdot 4\cdot4}{3^5}=\frac{80}{243}\approx 0,33\).
Ответ: 0,33
Вот задача с похожим условием. Но в ней формула Бернулли применяться не будет.
3. Анна Малкова
Группа туристов планирует пройти через перевал в труднодоступное ущелье и вернуться тем же путем в один из следующих дней. На путь через перевал требуется 1 день, на обратный путь тоже 1 день, причем эти дни группа выбирает заранее. В распоряжении группы 5 дней. Известно, что в это время года погода в данном районе в случайно выбранный день хорошая с вероятностью \(\frac{1}{3}\). С какой вероятностью погода будет хорошей именно в те дни, когда группа будет идти через перевал, а в остальные дни плохая? Результат округлите до тысячных.
Решение:
Кажется, что эта задача - копия предыдущей. На самом деле от предыдущей она отличается условием: группа заранее выбирает дни, когда идти через перевал и обратно.
Например, группа выбрала первый день из пяти, чтобы пройти в ущелье через перевал. Вероятность того, что в первый день погода хорошая, равна \(\frac{1}{3}\).
Вероятность хорошей погоды в день, когда группа идет через перевал обратно, также равна \(\frac{1}{3}\).
Вероятность того, что в остальные три дня погода плохая, равна \((\frac{2}{3})^3\).
Получим: \(P=(\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^3=\frac{8}{243}\approx 0,033\).
Ответ: 0,033
Еще один типичный пример использования формулы Бернулли.
4. Анна Малкова
Каждую осень Валентина Петровна собирает в лесу грибы и продает их на рынке. Она заметила, что 20% грибов в лесу – червивые и не годятся для продажи, однако вероятность, что из 10 грибов 9 окажутся годными, больше, чем вероятность того, что из 10 грибов только 5 окажутся годными. Во сколько раз больше? Ответ округлите до целого числа.
Решение:
Есть серия независимых испытаний (10 случайно выбранных грибов, которые могут быть червивыми или хорошими). Есть вероятность наступления некоторого события А (гриб не червивый). Надо найти вероятность того, что событие А наступит ровно \(m\) раз в серии из \(n\) независимых испытаний, то есть ровно \(m\) из \(n\) грибов окажутся хорошими.
По условию, вероятность того, что случайно выбранный гриб годен для продажи (не червивый), равна \(\frac{4}{5}\).
Найдем вероятность того, что 10 грибов 9 годные. В этом нам поможет формула Бернулли. По условию, \(n=10\), \(k=9\), \(p=\frac{4}{5}\) (вероятность того, что случайно выбранный гриб годный); \(q=\frac{1}{5}\) - вероятность противоположного события (случайно выбранный гриб червивый).
\( P_1=P_{10}^9=C_{10}^9\cdot (\frac{4}{5})^9\cdot (\frac{1}{5})^{10-9}=\frac{10!}{9!(10-9)!}\cdot \frac{4^9}{5^9}\cdot \frac{1}{5}=\frac{10!\cdot 4^9}{9!\cdot 5^{10}}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot...\cdot 1}{9\cdot 8\cdot 7\cdot...\cdot 1}\cdot \frac{4^9}{5^{10}}=\frac{10\cdot 4^9}{5^{10}}\)
Аналогично, вероятность того, что из 10 грибов 5 хорошие, а 5 червивые, равна
\( P_2=P_{10}^5=C_{10}^5\cdot (\frac{4}{5})^5\cdot (\frac{1}{5})^{5}=\frac{10!\cdot 4^5}{5!\cdot 5!\cdot 5^{10}}\)
Тогда
\(\frac{P_1}{P_2}=\frac{10\cdot 4^9\cdot 5!\cdot 5!\cdot 5^{10}}{5^{10}\cdot 10!\cdot 4^5}=\frac{10\cdot 4^4\cdot 5!\cdot 5!}{10!}=\frac{10\cdot 4^4\cdot 5!\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\frac{4^4\cdot 5!}{9\cdot 8 \cdot 7\cdot 6}=\)
\(=\frac{16\cdot 16\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\frac{8\cdot 16\cdot 5}{63}=10\cdot \frac{64}{63}=10(1+\frac{1}{63})=10\frac{10}{63}\approx 10.\)
Ответ: 10.
5. ЕГЭ Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?
Решение:
Стрелок поражает мишень с первого или со второго выстрела;
Вероятность поразить мишень равна
\(0,6+0,4\cdot 0,6=0,84\).
Вероятность поразить 5 мишеней из 5 равна \(0,84^5=P_1\).
Вероятность поразить 4 мишени из 5 находим по формуле Бернулли:
\(P_2=C_5^4\cdot 0,84^4\cdot 0,16=\frac{5!\cdot 0,84^4\cdot 0,16}{4!}=5\cdot 0,84^4\cdot 0,16.\)
\(\frac{P_1}{P_2}=\frac{0,84^5}{5\cdot 0,84^4 \cdot 0,16}=\frac{0,84}{0,8}=1,05.\)
Ответ: 1,05.
6. ЕГЭ Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым выстрелом равна 0,5. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 3 мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 2 мишени»?
Решение:
Найдем вероятность поразить одну мишень – с первого или со второго выстрела.
С вероятностью \(\frac{1}{2}\) стрелок поражает мишень первым выстрелом (и больше по ней не стреляет).
Найдем вероятность того, что стрелок поразит мишень вторым выстрелом. Она равна \(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\), так как с вероятностью \(\frac{1}{2}\) он промахнулся в первый раз и с вероятностью \(\frac{1}{2}\) второй выстрел был удачным.
Значит, вероятность поразить одну мишень первым или вторым выстрелом равна \(\frac{1}{2}+ \frac{1}{4}= \frac{3}{4}\).
Теперь нам на помощь придет формула Бернулли.
Найдем вероятность того, что стрелок поразит ровно 3 мишени из 5.
\(p_1=P_5^3=C_5^3\cdot (\frac{3}{4})^3\cdot (\frac{1}{4})^2=\frac{5!}{3!2!}\cdot \frac{3^3}{4^5}\)
Вероятность поразить ровно 2 мишени из пяти
\(p_2=P_5^2=C_5^2\cdot (\frac{3}{4})^2\cdot (\frac{1}{4})^3=\frac{5!}{3!2!}\cdot \frac{3^2}{4^5}\)
Заметим, что \(C_5^3=C_5^2\).
Получим:
\(\frac{p_1}{p_2}=\frac{3^3\cdot 4^5}{4^5\cdot 3^2}=3.\)
Ответ: 3.
7. Татьяна Сиротина
Игроки детских футбольных команд «Торнадо» и «Молния» пробивают серию послематчевых пенальти: каждая из команд по 5 раз по очереди бьет мяч в ворота соперника. Футболисты «Торнадо» забивают пенальти в одном случае из четырех, а футболисты «Молнии» – в одном случае из трех. Какова вероятность того, что команда «Торнадо» не забьет ни одного гола, а команда «Молния» забьет 2 гола в этой серии послематчевых пенальти? Ответ округлите до сотых.
Решение:
Поскольку команда «Торнадо» забивает гол в одном случае из четырех, то не забивает в трех случаях из четырех, т.е. вероятность не забить равна \(\frac{3}{4}\).
Вероятность того, что «Торнадо» не забьет ни одного гола», равна \((\frac{3}{4})^5\).
Аналогично, для команды «Молния» вероятность забить гол равна \(\frac{1}{3}\), а вероятность не забить равна \(\frac{2}{3}\).
По формуле Бернулли найдем вероятность того, что команда «Молния» забьет два гола из пяти.
\(P=C_h^k\cdot p^kq^{h-k}\).
В данном случае: \(n=5\) – всего ударов, \(p=\frac{1}{3}\) - вероятность забить пенальти; \(q= 1- p=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\) – вероятность не забить пенальти, \(k=2\) - всего забитых голов.
\(P=C_5^4\cdot (\frac{1}{3})^2\cdot (\frac{2}{3})^3=\frac{5!}{4!(5-4)!}\cdot \frac{1}{3^2}\cdot \frac{2^3}{3^3}=\frac{5\cdot 2^3}{3^5}\)
Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Значит, вероятность события «команда «Торнадо» не забьет ни одного гола, а команда «Молния» забьет 4 гола» равна
\(P=(\frac{3}{4})^5\cdot \frac{5\cdot 2^3}{3^5}=\frac{3^5\cdot 5\cdot 2^3}{4^5\cdot 3^5}=\frac{5}{128}\approx 0,04.\)
Ответ: 0,04.
8. Анна Малкова
Студент Василий заметил, что если он в новогоднюю ночь загадывает желание, то оно сбывается с вероятностью 0,4. Маша сказала, что у нее загаданные в новогоднюю ночь желания сбываются с вероятностью 0,8.
Маша и Василий договорились в новогоднюю ночь загадать по 7 желаний.
Во сколько раз вероятность того, что у Маши исполнится ровно 6 желаний, больше вероятности того, что у Василия исполнится ровно 5 желаний? Ответ округлите до сотых.
Решение:
\(P_M=C_7^6\cdot (\frac{8}{10})^6\cdot \frac{2}{10}\)
\(P_B=C_7^5\cdot (\frac{4}{10})^5\cdot (\frac{6}{10})^2\)
\(\frac{P_M}{P_B}=\frac{C_7^6 \cdot 8^6\cdot 2}{C_7^5\cdot 4^5\cdot 6^2}=\frac{\not{7!}\cdot 2^{18} \cdot 2\cdot 5!\cdot 2!}{6!\cdot \not{7!}\cdot 2^{10} \cdot 2^2 \cdot 3^2}=\frac{2^{10}\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 2^2\cdot 3^2}=\frac{2^8}{6\cdot 3^2}=\frac{2^8}{2\cdot 3^3}=\frac{2^7}{3^3}=\frac{128}{27}=4,74.\)
Ответ: 4,74
