previous arrow
next arrow
Slider

Геометрическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике

Анна Малкова

Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:

b_{n+1 }= b_{n}q \: \: \, \, (n = 1,2, ...).

Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: b_n=b_1q^{n-1}

Формула суммы  S_n=b_1+b_2+...+b_n  первых  членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних:

b_n^2= b_{n-1}\cdot b_{n+1}

1. Начинающий видеоблогер Маша подсчитала, что каждый ее следующий новый видеоролик набирает в 3 раза больше просмотров, чем предыдущий.

а) Сколько просмотров набрал шестой видеоролик Маши, если первый посмотрели 20 человек?

б) Сколько просмотров набрали 6 первых видеороликов Маши?

По условию, каждый следующий новый видеоролик Маши набирает в 3 раза больше просмотров, чем предыдущий. Первый набрал 20 просмотров, второй 60, третий 180. Легко посчитать, сколько наберут четвертый, пятый, шестой…

Эти величины образуют геометрическую прогрессию, где b_1=20  – количество просмотров первого ролика Маши, q = 3  - знаменатель прогрессии.

а) По формуле n-го члена геометрической прогрессии:

b_n=b_1q^{n-1}

Значит, b_6=b_1q^{5-1}=\ 20{\cdot 3}^{6-1}=20{\cdot 3}^5=20{\cdot 243}^{\ }=4860 просмотров.

б) Найдем, сколько просмотров набрали все 6 видеороликов Маши.

По формуле суммы  первых членов геометрической прогрессии:

S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}.

Получим: S_6=b_1+b_2+...+b_6=b_1\frac{q^6-1}{q-1}=20\cdot \frac{3^6-1}{3-1}=10\cdot \left({27}^2-1\right)=7280.

Шестой видеоролик Маши набрал 4860 просмотров, а все 6 первых набрали 7280 просмотров.

Задачи ОГЭ на тему «Геометрическая прогрессия»

1. (Задача ОГЭ) В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии сумма пер­во­го и вто­ро­го чле­нов равна 75, а сумма вто­ро­го и тре­тье­го чле­нов равна 150. Най­ди­те пер­вые три члена этой про­грес­сии.

В от­ве­те запишите первый, вто­рой и тре­тий члены прогрессии без пробелов.

Пусть  — первый член, а q — знаменатель прогрессии.

По условию, b_2+b_3=2(b_1+ b_2).

b_2\left(1+q\right)=2b_1\left(1+q\right)

Значит, = 2.

Тогда b_1+ 2b_1= 75, поэтому b_1=25.

Первый, второй и третий члены прогрессии равны 25, 50 и 100.

Ответ: 2550100

 

2. (Задача ОГЭ) Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем b_n=160\cdot 3^{n}. Най­ди­те сумму пер­вых её 4 чле­нов.

Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{160\cdot 3^{n+1}}{160\cdot 3^{n}}=3.

Первый член данной прогрессии равен b_1=160\cdot 3^{1}=480. Сумма первых k членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

S_k=\frac{b_1(1-q^{k})}{1-q}

Получим: S_4=\frac{480\cdot (1-3^{4})}{1-3}=\frac{480\cdot (1-81)}{-2}=\frac{480\cdot (-80)}{-2}=19200.

3. (Задача ОГЭ) Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской прогрессии: −1024; −256; −64; … Най­ди­те сумму пер­вых 5 её членов.

 Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-256}{-1024}=\frac{1}{4}.

Найдём четвёртый и пятый члены прогрессии:

b_4=b_3q=-64\cdot \frac{1}{4}=-16,\: \: b_5=b_4q=-16\cdot \frac{1}{4}=-4.

Сумма первых пяти первых членов прогрессии равна -1024-256-64-16-4=-1364

Ответ: -1364.

 

Задачи ОГЭ для самостоятельного решения:

1. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия (b_n), зна­ме­на­тель ко­то­рой равен 5, а b_1=\frac{2}{5}. Най­ди­те сумму пер­вых 6 её членов.

2. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: -12 ; x; -3 ; 1,5 ; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x.

3. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем b_n=164\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{n}. Най­ди­те сумму пер­вых её 4 чле­нов.

 

Ответы:

  1. Ответ: 1562,4.
  2. Ответ: 6
  3. Ответ: 153,75