Анна Малкова
Иррациональными называются уравнения, содержащие знак корня – квадратного, кубического или n-ной степени.
Мы помним из школьной программы: как только в уравнении или неравенстве встретились корни, дроби или логарифмы – пора вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ) уравнения или неравенства.
По определению, ОДЗ уравнения (или неравенства) – это пересечение областей определения всех функций, входящих в уравнение или неравенство.
Например, в уравнении присутствует арифметический квадратный корень \(\sqrt{a}\). Он определен
при \(a\ge 0\).
В 2018-2019 году среди учителей появилось такое мнение, что писать слова «область допустимых значений» уже не модно. И что за это даже могут снизить оценку на экзамене.
Нет, оценку не снизят. И основных понятий школьной математики никто не отменял. Однако есть еще лучший способ оформления решения – в виде цепочки равносильных переходов. Смотрите, как решать и оформлять иррациональные уравнения:
1. Решите уравнение \(\sqrt{-45-14x}=-x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение:
Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень – величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:
\(\left\{\begin{matrix}
-45-14x=\left ( -x \right )^{2},\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!-45-14x\geq 0,\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!-x\geq 0.\\
\end{matrix}\right. \)
Повторим, что решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Если вы не очень хорошо понимаете, что такое система уравнений и совокупность уравнений, - повторите эту тему.
\(\sqrt{-45-14x}=-x\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
-45-14x=\left ( -x \right )^{2},\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!-45-14x\geq 0,\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!-x\geq 0;\\
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{2}+14x+45=0,\\
\!\!\!\!\!\!\!x\leq -\displaystyle\frac{45}{14},\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!x\leq 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[
\begin{array}{ccc}
x=-5,\\
x=-9,
\end{array}
\right.\\
x\leq -\displaystyle\frac{45}{14},\\
x\leq 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-5 \;\) или \(x=-9.\)
В ответ запишем меньший из корней: \(- 9\).
Теперь уравнение, в котором есть ловушка.
2. Решите уравнение \(\sqrt{6-x}=x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение:
Что получилось у вас? Правильный ответ: \(x=2\). Если у вас получилось \(x=-3\) – это был посторонний корень. Запишите решение в виде цепочки равносильных переходов, как в задаче 1, и вы поймете, что
\(x=-3\) не может быть корнем этого уравнения.
3. Решите уравнение: \(
\left ( x^{2}-4 \right )\sqrt{x+1}=0.\)
Решение:
Запишем решение как цепочку равносильных преобразований. Учитесь читать такую запись и применять ее.
Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.
\(\left ( x^{2}-4 \right )\sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
x+1\geq 0,\\
\left[
\begin{array}{cc}
x+1=0,\\
x^{2}-4= 0;
\end{array}
\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
x+1\geq 0,\\
\left[
\begin{array}{cc}
x=-1,\\
x=2,\\
x=-2;
\end{array}
\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{cc}
x=-1,\\
x=2.\\
\end{array}
\right. \)
4. Решите уравнение:
Решение:
\(x-3\sqrt{x-1}+1=0.\)
\(3\sqrt{x-1}=x+1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\!\!\!\!\!\!\!x+1\geq 0,\\
9x-9=x^{2}+2x+1;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x\geq -1,\\
x^{2}-7x+10=0;\\
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}
x\geq -1,\\
\left[
\begin{array}{cc}
x=2,\\
x=5;
\end{array}
\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{cc}
x=2,\\
x=5.\\
\end{array}
\right. \)
Ответ: \(x=2\) или \(x=5\).
А теперь сложное уравнение. Как это часто бывает, нас выручит замена переменной.
Причем новая переменная будет не одна, а целых две.
5. Решите уравнение \(\sqrt{15-x}+\sqrt{3-x}=6.\)
Решение:
Найдем ОДЗ:
\(\left\{\begin{matrix}
15-x\geq 0,\\
3-x\geq 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x\leq 15,\\
x\leq 3;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\leq 3.\)
Мы можем, как в задаче 10, возвести обе части уравнения в квадрат. Но после этого придется еще раз возводить в квадрат, а это долгий способ.
Есть короткий путь!
Сделаем замену: \(\sqrt{15-x}=u\), \(\sqrt{3-x}=v\).
Выразим \(x\) через \(u\) и \(v\):
\(x=15-u^{2}\) и \(x=3-v^{2}\). Это выражения можно приравнять друг к другу.
Получим систему
\(\left\{\begin{matrix}
u+v=6,\\
15-u^{2}=3-v^{2};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
u+v=6,\\
u^{2}-v^{2}=12;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
u+v=6,\\
\left ( u+v \right )\left ( u-v \right )=12;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
u+v=6,\\
6\left ( u-v \right )=12;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
u+v=6,\\
u-v=2;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
u=4,\\
v=2;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\sqrt{15-x}=4,\\
\sqrt{3-x}=2.
\end{matrix}\right.\)
Решим одно из уравнений. Все равно, какое, - ведь нам надо найти \(x\).
\(\sqrt{3-x}=2;\)
\(3-x=4;\)
\(x=-1.\)
Ответ: \(x=-1\). Заметим, что \(x=-1\) является также и корнем уравнения \(\sqrt{15-x}=4.\)
