Иррациональные уравнения. Можно ли писать ОДЗ?

Анна Малкова

Иррациональными называются уравнения, содержащие знак корня – квадратного, кубического или n-ной степени.

Мы помним из школьной программы: как только в уравнении или неравенстве встретились корни, дроби или логарифмы – пора вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ) уравнения или неравенства.

По определению, ОДЗ уравнения (или неравенства) – это пересечение областей определения всех функций, входящих в уравнение или неравенство,

Например, в уравнении присутствует арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$ . Он определен
при $a\geq 0$ .

В 2018-2019 году среди учителей появилось такое мнение, что писать слова «область допустимых значений» уже не модно. И что за это даже могут снизить оценку на экзамене.

Нет, оценку не снизят. И основных понятий школьной математики никто не отменял. Однако есть еще лучший способ оформления решения – в виде цепочки равносильных переходов. Смотрите, как решать и оформлять иррациональные уравнения:

1.Решите уравнение $\sqrt{-45-14x}=-x$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень – величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

$\left\{\begin{matrix}-45-14x=\left ( -x \right )^{2}\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!-45-14x\geq 0\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!-x\geq 0\\\end{matrix}\right.$

Повторим, что решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Если вы не очень хорошо понимаете, что такое система уравнений и совокупность уравнений, - повторите эту тему.

$\sqrt{-45-14x}=-x\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-45-14x=\left ( -x \right )^{2}\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!-45-14x\geq 0\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!-x\geq 0\\\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^{2}+14x+45=0\\\!\!\!\!\!\!\!x\leq -\frac{45}{14}\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!x\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{ccc}x=-5\\x=-9\end{array}\right.\\x\leq -\frac{45}{14}\\x\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-5 \;$ или
$x=-9$

В ответ запишем меньший из корней: - 9.

Теперь уравнение, в котором есть ловушка.

2.Решите уравнение $\sqrt{6-x}=x$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Что получилось у вас? Правильный ответ: $x=2$ . Если у вас получилось $x=-3$ – это был посторонний корень. Запишите решение в виде цепочки равносильных переходов, как в задаче 1, и вы поймете, что
$x=-3$ не может быть корнем этого уравнения.

3.Решите уравнение:
$\left ( x^{2}-4 \right )\sqrt{x+1}=0$

Запишем решение как цепочку равносильных преобразований. Учитесь читать такую запись и применять ее.

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.

$\left ( x^{2}-4 \right )\sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x+1\geq 0\\\left[\begin{array}{cc}x+1=0\\x^{2}-4= 0\end{array}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x+1\geq 0\\\left[\begin{array}{cc}x=-1\\x=2\\x=-2\end{array}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{cc}x=-1\\x=2\\\end{array}\right.$

4.Решите уравнение:

$x-3\sqrt{x-1}+1=0$

$3\sqrt{x-1}=x+1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\!\!\!\!\!\!\!x+1\geq 0\\9x-9=x^{2}+2x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq -1\\x^{2}-7x+10=0\\\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq -1\\\left[\begin{array}{ccc}x=2\\x=5\end{array}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}x=2\\x=5\end{array}\right.$

Ответ: $x=2$ или $x=5$ .

А теперь сложное уравнение. Как это часто бывает, нас выручит замена переменной.

Причем новая переменная будет не одна, а целых две.

5.Решите уравнение $\sqrt{15-x}+\sqrt{3-x}=6$

Найдем ОДЗ:
$\left\{\begin{matrix}15-x\geq 0\\3-x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\leq 15\\x\leq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\leq 3$ .

Мы можем, как в задаче 10, возвести обе части уравнения в квадрат. Но после этого придется еще раз возводить в квадрат, а это долгий способ.

Есть короткий путь!

Сделаем замену: $\sqrt{15-x}=u$ , $\sqrt{3-x}=v$ .

Выразим $x$ через $u$ и $v$ :

$x=15-u^{2}$ и $x=3-v^{2}$ . Это выражения можно приравнять друг к другу.

Получим систему

$\left\{\begin{matrix}u+v=6\\15-u^{2}=3-v^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u+v=6\\u^{2}-v^{2}=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u+v=6\\\left ( u+v \right )\left ( u-v \right )=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u+v=6\\6\left ( u-v \right )=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u+v=6\\u-v=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=4\\v=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{15-x}=4\\\sqrt{3-x}=2\end{matrix}\right.$

Решим одно из уравнений. Все равно, какое, - ведь нам надо найти $x$ .

$\sqrt{3-x}=2$

$3-x=4$

$x=-1$

Ответ: $x=-1$ . Заметим, что $x=-1$ является также и корнем уравнения $\sqrt{15-x}=4$

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.