Иррациональные уравнения. Можно ли писать ОДЗ?

Анна Малкова

Иррациональными называются уравнения, содержащие знак корня – квадратного, кубического или n-ной степени.

Мы помним из школьной программы: как только в уравнении или неравенстве встретились корни, дроби или логарифмы – пора вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ) уравнения или неравенства.

По определению, ОДЗ уравнения (или неравенства) – это пересечение областей определения всех функций, входящих в уравнение или неравенство.

Например, в уравнении присутствует арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$ . Он определен
при $a\geq 0$ .

В 2018-2019 году среди учителей появилось такое мнение, что писать слова «область допустимых значений» уже не модно. И что за это даже могут снизить оценку на экзамене.

Нет, оценку не снизят. И основных понятий школьной математики никто не отменял. Однако есть еще лучший способ оформления решения – в виде цепочки равносильных переходов. Смотрите, как решать и оформлять иррациональные уравнения:

1. Решите уравнение $\sqrt{-45-14x}=-x$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень – величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

$\left\{\begin{matrix}-45-14x=\left ( -x \right )^{2}\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!-45-14x\geq 0\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!-x\geq 0\\\end{matrix}\right..$

Повторим, что решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Если вы не очень хорошо понимаете, что такое система уравнений и совокупность уравнений, - повторите эту тему.

$\sqrt{-45-14x}=-x\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-45-14x=\left ( -x \right )^{2}\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!-45-14x\geq 0\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!-x\geq 0\\\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^{2}+14x+45=0\\\!\!\!\!\!\!\!x\leq -\frac{45}{14}\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!x\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{ccc}x=-5\\x=-9\end{array}\right.\\x\leq -\frac{45}{14}\\x\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-5 \;$ или
$x=-9.$

В ответ запишем меньший из корней: - 9.

Теперь уравнение, в котором есть ловушка.

2. Решите уравнение $\sqrt{6-x}=x$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Что получилось у вас? Правильный ответ: $x=2$ . Если у вас получилось $x=-3$ – это был посторонний корень. Запишите решение в виде цепочки равносильных переходов, как в задаче 1, и вы поймете, что
$x=-3$ не может быть корнем этого уравнения.

3. Решите уравнение:
$\left ( x^{2}-4 \right )\sqrt{x+1}=0.$

Запишем решение как цепочку равносильных преобразований. Учитесь читать такую запись и применять ее.

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.

$\left ( x^{2}-4 \right )\sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x+1\geq 0\\\left[\begin{array}{cc}x+1=0\\x^{2}-4= 0\end{array}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x+1\geq 0\\\left[\begin{array}{cc}x=-1\\x=2\\x=-2\end{array}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{cc}x=-1\\x=2\\\end{array}\right. .$

4. Решите уравнение:

$x-3\sqrt{x-1}+1=0.$

$3\sqrt{x-1}=x+1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\!\!\!\!\!\!\!x+1\geq 0\\9x-9=x^{2}+2x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq -1\\x^{2}-7x+10=0\\\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq -1\\\left[\begin{array}{ccc}x=2\\x=5\end{array}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}x=2\\x=5\end{array}\right. .$

Ответ: $x=2$ или $x=5$ .

А теперь сложное уравнение. Как это часто бывает, нас выручит замена переменной.

Причем новая переменная будет не одна, а целых две.

5. Решите уравнение $\sqrt{15-x}+\sqrt{3-x}=6.$

Найдем ОДЗ:
$\left\{\begin{matrix}15-x\geq 0\\3-x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\leq 15\\x\leq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\leq 3$ .

Мы можем, как в задаче 10, возвести обе части уравнения в квадрат. Но после этого придется еще раз возводить в квадрат, а это долгий способ.

Есть короткий путь!

Сделаем замену: $\sqrt{15-x}=u$ , $\sqrt{3-x}=v$ .

Выразим $x$ через $u$ и $v$ :

$x=15-u^{2}$ и $x=3-v^{2}$ . Это выражения можно приравнять друг к другу.

Получим систему

$\left\{\begin{matrix}u+v=6\\15-u^{2}=3-v^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u+v=6\\u^{2}-v^{2}=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u+v=6\\\left ( u+v \right )\left ( u-v \right )=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u+v=6\\6\left ( u-v \right )=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u+v=6\\u-v=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=4\\v=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{15-x}=4\\\sqrt{3-x}=2\end{matrix}\right. .$

Решим одно из уравнений. Все равно, какое, - ведь нам надо найти $x$ .

$\sqrt{3-x}=2;$

$3-x=4;$

$x=-1.$

Ответ: $x=-1$ . Заметим, что $x=-1$ является также и корнем уравнения $\sqrt{15-x}=4.$

Это полезно