Все знают, как выглядит парабола \(y = x^2\). В седьмом классе мы рисовали таблицу:
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(y\) | \(9\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) |
После этого по точкам строили график:
Параболу \(y = ax^2 + bx + c\) мы не станем строить каждый раз «по точкам» — для выпускника школы это просто несолидно. Ведь нам надо знать закономерности поведения данной функции. А эти закономерности таковы.
1. Знак коэффициента \(a\) отвечает за направление ветвей. При \(a > 0\) ветви направлены вверх, при \(a < 0\) — вниз.
На рисунке приведены две параболы \(y = ax^2\) с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями \(a\).
2. Абсолютная величина коэффициента a отвечает за «раскрыв» параболы. Чем больше \(\left| a\right|\), тем у́же парабола (больше прижата к оси \(Y\)). Наоборот, чем меньше \(\left| a\right|\), тем шире парабола (больше прижата к оси \(X\)).
На рисунке приведены две параболы \(y=a_{1}x^{2}\) и \(y=a_{2}x^{2}\), у которых \(a_{2}> a_{1}> 0:\)
3. Абсцисса вершины параболы \(y = ax^2 + bx + c\) находится по формуле:
\(x_{0}=-\displaystyle\frac{b}{2a}.\)
Для нахождения ординаты вершины \(y_{0}\) удобнее всего подставить \(x_{0}\) в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что
\(y_{0}=-\displaystyle\frac{D}{4a},\)
где \(D=b^{2}-4ac\) — дискриминант.
4. Точки пересечения параболы \(y = ax^2 + bx + c\) с осью \(X\) находятся с помощью решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c=0\). Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси \(X\). Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось \(X\).
5. Точка пересечения с осью \(Y\) находится легко: мы просто подставляем \(x=0\) в уравнение параболы. Получается точка \((0, c)\).
Посмотрим, как расположена квадратичная функция (парабола) в зависимости от знака коэффициента \(a\) и дискриминанта \(D\).
Где же в реальной жизни можно увидеть параболу (квадратичную функцию)?
Мяч, брошенный под углом к горизонту, летит по параболе. Зависимость его высоты от времени — квадратичная функция. Струя воды из фонтана или шланга, направленная под углом к горизонту, рисует в пространстве именно параболу. Но это не всё. Разберите карманный фонарик. Вы увидите, что за лампочкой расположено зеркальце, имеющее параболическую форму. Спутниковая антенна или антенна телескопа имеют форму параболы. Случайно ли это?
Оказывается, параболическое зеркало обладает интереснейшим свойством — весь поток света, падающий на его поверхность, оно собирает в одной точке, называемой фокусом параболы. Вот почему форма антенн — параболическая. И наоборот, если в фокусе параболы расположен источник света, то отражённые от зеркала лучи света будут параллельны. Поэтому карманный фонарик дает направленный луч света, хорошо видимый в темноте.
Решая задачи ЕГЭ с физическим или экономическим содержанием, мы часто будем замечать в них квадратичные зависимости одной переменной от другой. И конечно, будем пользоваться свойствами квадратичной функции.
