previous arrow
next arrow
Slider

Квадратичные неравенства

Покажем, как с помощью графика функции y = ax2 + bx + c решать квадратные неравенства.

Квадратичная функция, или парабола, — это функция вида

y=ax^2+bx+c

Вспомним свойства этой функции:

Координаты вершины параболы: x_0=-\frac{b}{2a}, y_0=y(x_0).

Если a \textgreater 0, ветви вверх

Если a \textgreater 0, ветви вниз

Точки пересечения с осью X: x_1 и x_2,

где x_1 и x_2 — корни квадратного уравнения ax^2+bx+c=0

Точка пересечения с осью Y: М (0; с).

Вспомним также, как выражение ax^2+bx+c раскладывается на множители.

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),

где x_1 и x_2 — корни квадратного уравнения ax^2+bx+c=0.

1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство

x2 < 400

Справляются далеко не все. Очень часто, не задумываясь, выдают «ответ»: x < ± 20.

Однако сама эта запись — абсурдна! Представьте, что вы слышите прогноз погоды: «Температура будет меньше плюс-минус двадцати градусов». Что, спрашивается, надеть — рубашку или шубу? :-)

Давайте решим это неравенство с помощью графика. Изобразим схематично график функции y = x2 и отметим все значения x, для которых y < 400.


Теперь мы видим правильный ответ: x ∈ (−20; 20).

Запомним: извлекать корень из неравенства нельзя. Такого действия просто нет.

2. Следующее неравенство: x^2 \textgreater 16.

Переносим всё в левую часть неравенства. Раскладываем левую часть на множители.

x^2 - 16 \textgreater 0

(x - 4) (x+ 4) \textgreater 0

Рисуем ось X. Рисуем параболу y = x^2 - 16 с ветвями вверх.

Эта парабола пересекает ось X в точках - 4 и 4. Отмечаем знаки выражения в левой части на каждом интервале.

Записываем ответ:

x\in \left(-\infty ;-4\right)\cup \left(4;+\infty \right).

3. Решим неравенство: x2 − 3x − 10 ≥ 0.

Графиком функции y = x2 − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x2 − 3x − 10 = 0, находим x1 = −2 и x2 = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:


Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x < −2 и x > 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при .

Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!

4. Ещё одно неравенство: x2 + 2x + 4 > 0.

Ветви параболы y = x2 + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x2 + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.

Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.


Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.

Ответ: .

Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.

5. Следующее квадратичное неравенство: x^2-6x+5 \textless 0.

Разложим его левую часть на множители.

x^2-6x+5=\left(x-1\right)\left(x-5\right).

Получим: \left(x-1\right)\left(x-5\right) \textless 0.

И больше ничего не пишем. Рисуем ось X. Рисуем параболу y = x^2-6x+5 с ветвями вверх.

Эта парабола пересекает ось X в точках 1 и 5. Отмечаем знаки выражения в левой части на каждом интервале.

Записываем ответ:

x\in \left(1;5\right).

6. Еще неравенство: x^2-6x+10 \textgreater 0.

Квадратное уравнение x^2-6x+10=0 не имеет решений — его дискриминант отрицателен. Это значит, что парабола y = x^2-6x+10 нигде не пересекает ось X. Ветви этой параболы направлены вверх. Все значения функции y = x^2-6x+10 положительны. Неравенство x^2-6x+10 \textgreater 0 выполняется для всех действительных X.

Соберем в одну таблицу примеры решения различных квадратичных неравенств.