Квадратичные неравенства

Покажем, как с помощью графика функции y = ax² + bx + c решать квадратные неравенства.

Квадратичная функция, или парабола, — это функция вида

$y=ax^2+bx+c$

Вспомним свойства этой функции:

Координаты вершины параболы: $x_0=-\frac{b}{2a}, y_0=y(x_0).$

Если $a \, \textgreater \, 0$ , ветви вверх

Если $a \, \textless \, 0$ , ветви вниз

Точки пересечения с осью X: $x_1$ и $x_2,$

где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$

Точка пересечения с осью Y: М (0; с).

Вспомним также, как выражение $ax^2+bx+c$ раскладывается на множители.

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),$

где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0.$

1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство

x² < 400

Справляются далеко не все. Очень часто, не задумываясь, выдают «ответ»: x < ± 20.

Однако сама эта запись — абсурдна! Представьте, что вы слышите прогноз погоды: «Температура будет меньше плюс-минус двадцати градусов». Что, спрашивается, надеть — рубашку или шубу? :-)

Давайте решим это неравенство с помощью графика. Изобразим схематично график функции y = x² и отметим все значения x, для которых y < 400.

Теперь мы видим правильный ответ: x ∈ (−20; 20).

Запомним: извлекать корень из неравенства нельзя. Такого действия просто нет.

2. Следующее неравенство: $x^2 \textgreater 16.$

Переносим всё в левую часть неравенства. Раскладываем левую часть на множители.

$x^2 - 16 \textgreater 0$

$(x - 4) (x+ 4) \textgreater 0$

Рисуем ось X. Рисуем параболу $y = x^2 - 16$ с ветвями вверх.

Эта парабола пересекает ось X в точках - 4 и 4. Отмечаем знаки выражения в левой части на каждом интервале.

Записываем ответ:

$x\in \left(-\infty ;-4\right)\cup \left(4;+\infty \right).$

3. Решим неравенство: x² − 3x − 10 ≥ 0.

Графиком функции y = x² − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x² − 3x − 10 = 0, находим x₁ = −2 и x₂ = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:

Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x < −2 и x > 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при $\small x\in \left ( -\infty ;-2 \right ]\cup \left [ 5;+\infty \right )$ .

Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!

4. Ещё одно неравенство: x² + 2x + 4 > 0.

Ветви параболы y = x² + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x² + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.

Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.

Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.

Ответ: $\small \left ( -\infty ,+\infty \right )$ .

Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.

5. Следующее квадратичное неравенство: $x^2-6x+5 \textless 0.$

Разложим его левую часть на множители.

$x^2-6x+5=\left(x-1\right)\left(x-5\right).$

Получим: $\left(x-1\right)\left(x-5\right) \textless 0.$

И больше ничего не пишем. Рисуем ось X. Рисуем параболу $y = x^2-6x+5$ с ветвями вверх.

Эта парабола пересекает ось X в точках 1 и 5. Отмечаем знаки выражения в левой части на каждом интервале.

Записываем ответ:

$x\in \left(1;5\right).$

6. Еще неравенство: $x^2-6x+10 \textgreater 0.$

Квадратное уравнение $x^2-6x+10=0$ не имеет решений — его дискриминант отрицателен. Это значит, что парабола $y = x^2-6x+10$ нигде не пересекает ось X. Ветви этой параболы направлены вверх. Все значения функции $y = x^2-6x+10$ положительны. Неравенство $x^2-6x+10 \textgreater 0$ выполняется для всех действительных X.

Соберем в одну таблицу примеры решения различных квадратичных неравенств.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Квадратичные неравенства» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.05.2023

Это полезно