Квадратные уравнения и неравенства с параметрами – не самый простой тип задач. В них мы будем применять в основном аналитический метод.
Любой старшеклассник умеет решать квадратные уравнения и даже неравенства. Дискриминант, корни, парабола – знакомые понятия. Однако присутствие параметра все усложняет. Чтобы уверенно решать такие задачи, надо знать определенные приемы, и сейчас мы вас познакомим еще с одним из них.
Мы привыкли, что в квадратном уравнении \(ax^2+bx+c=0\) надо непременно найти дискриминант \(D=b^2-4ac.\) И, если дискриминант неотрицателен, применить формулу для корней: \(x_{1,2}=\displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).
Однако при решении квадратных уравнений и неравенств с параметрами дискриминант – не единственный инструмент.
А привычной формулой для корней квадратного уравнения мы редко будем пользоваться. Она все-таки довольно громоздкая. Мы постараемся обходиться без этой формулы, применяя теорему Виета.
Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.
1. Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \(\left ( a-2 \right )x^{2}+2\left ( a-2 \right )x+2=0\) не имеет действительных корней.
Решение:
Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной \(x\)? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при \(x^{2}\) равен нулю, оно станет линейным.
Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.
1) \(a-2=0\Rightarrow a=2.\)
Тогда уравнение примет вид \(2 = 0\). Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.
2) \(a\neq 2.\)
Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.
Найдем дискриминант \(D\):
\(D=b^{2}-4ac=4\left ( a-2 \right )^{2}-8\left ( a-2 \right )< 0;\)
\(\left ( a-2 \right )^{2}-2\left ( a-2 \right )< 0;\)
\(\left ( a-2 \right )\left ( a-4 \right )< 0.\)
Решив неравенство, получим \(a\in \left ( 2;\;4 \right ).\)
С учетом пункта 1, получим ответ: \(a\in \left [ 2;\;4 \right ).\)
2. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых сумма квадратов действительных корней уравнения
\(x^{2}-ax+a-2=0\) минимальна.
Решение:
Мы привыкли находить корни квадратного уравнения по известной формуле, с помощью дискриминанта. Однако для задач с параметрами такой способ подходит не всегда. А вот теорема Виета нам поможет.
В условии сказано: «Сумма квадратов действительных корней…» Это значит, во-первых, что корни есть, а во-вторых, их должно быть два. А это будет в случае, когда дискриминант положителен (\(D > 0\)).
Если \(x_{1}\) и \(x_{2}\) – корни квадратного уравнения \(ax^{2}+bx+c=0\), то по теореме Виета:
\(\left\{\begin{matrix}
x_{1}+x_{2}=\displaystyle \frac{-b}{a},\\
\!\!\!\!\!\!\!x_{1}x_{2}=\displaystyle \frac{c}{a}.
\end{matrix}\right.\)
В нашем случае:
\(\left\{\begin{matrix}
a^2-4(a-2)>0, \\
x_1+x_2=a, \\
x_1x_2=a-2.\end{matrix}\right.\)
Решим первое неравенство системы
\(a^2-4(a-2)>0;\)
\(a^2-4a+8>0.\)
Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен \(-32\), то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений \(a\).
Возведем второе уравнение системы в квадрат:
\(\left\{\begin{matrix}
x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=a^{2},\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!x_{1}x_{2}=a-2.
\end{matrix}\right.\)
Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов \(x_{1}\) и \(x_{2}\).
\(x_{1}^{2}+2\left ( a-2 \right )+x_{2}^{2}=a^{2};\)
\(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=a^{2}-2\left ( a-2 \right );\)
\(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=a^{2}-2a+4.\)
Значит, сумму квадратов корней уравнения \(S\) можно выразить через параметр \(a.\)
\(S=a^{2}-2a+4.\)
График функции \(S\left ( a \right )\) - парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине.
Найдем вершину параболы: \(a=\displaystyle \frac{2}{2}=1.\)
Ответ: 1.
3. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых все решения уравнения
\(\left ( a-3 \right )x^{2}-2ax+5a=0\) положительны.
Решение:
Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда \(a-3=0\). Рассмотрим этот случай отдельно.
1) \(a=3\). Получим линейное уравнение:
\(-6x+15=0;\)
\(x=2,5.\)
У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.
2) При \(a\neq 3\) уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то \(D\geq 0\).
Покажем один из приемов решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:
- Оба корня квадратного уравнения \(\boldsymbol{x_{1}}\) и \(\boldsymbol{x_{2}}\) положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.
Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.
- Оба корня квадратного уравнения \(\boldsymbol{x_{1}}\) и \(\boldsymbol{x_{2}}\) отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.
Корни квадратного уравнения \(\boldsymbol{x_{1}}\) и \(\boldsymbol{x_{2}}\) имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.
Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим
\(\left\{\begin{matrix}
D\geqslant0, \\
x_1+x_2>0, \\
x_1x_2>0;\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
a^2-5a(a-3)\geqslant0, \\
\displaystyle \frac{2a}{a-3}>0, \\
\displaystyle \frac{5a}{a-3}>0;\end{matrix}\right. \Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
a(4a-15)\leqslant0,\\
\displaystyle \frac{2a}{a-3}>0, \\
\displaystyle \frac{5a}{a-3}>0.\end{matrix}\right. \)
Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение \(a\in \left ( -\infty;\; 0\right )\cup \left ( 3;\;+\infty \right )\).
Решение первого неравенства: \(a\in \left [ 0;\;3,75 \right ].\)
Решение системы: \(a\in \left ( 3;\;3,75 \right ].\)
С учетом пункта 1 получим ответ.
Ответ: \(a\in \left [ 3;\;3,75 \right ].\)
4. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\left ( a-1 \right )4^{x}+\left ( 2a-3 \right )6^{x}=\left ( 3a-4 \right )9^{x}\) имеет единственное решение?
Решение:
Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на \(9^{x}\neq 0\).
Получим:
\(\left ( a-1 \right )\left ( \displaystyle \frac{2}{3} \right )^{2x}+\left ( 2a-3 \right )\left ( \displaystyle \frac{2}{3} \right )^{x}=3a-4.\)
Сделаем замену: \(\left(\displaystyle \frac{2}{3}\right)^x=t, \; t>0.\)
\(\left ( a-1 \right )t^{2}+\left ( 2a-3 \right )t-\left (3a-4 \right )=0.\)
Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно \(t\) имело ровно один положительный корень.
1) В случае \(a=1\) уравнение будет линейным:
\(-t+1=0;\)
\(t=1.\)
Значит, \(a=1\) подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.
2) Если \(a\neq 1\), уравнение будет квадратным.
Его дискриминант:
\(D=\left ( 2a-3 \right )^{2}+4\left ( a-1 \right )\left ( 3a-4 \right )=16a^{2}-40a+25=\left ( 4a-5 \right )^{2}.\)
Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.
\(t_{1}=\displaystyle \frac{3-2a+4a-5}{2\left ( a-1 \right )}=\frac{2a-2}{2a-2}=1;\)
\(t_{2}=\displaystyle \frac{3-2a-4a+5}{2\left ( a-1 \right )}=\frac{4-3a}{a-1}.\)
Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.
Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.
а) \(t_{2}\leq 0\Rightarrow \displaystyle \frac{4-3a}{a-1}\leq 0. \)
Тогда \(a\in \left ( -\infty;\;1 \right )\cup \left [ \displaystyle \frac{4}{3};+\infty \right ).\)
б) \(t_{1}=t_{2}=1\Rightarrow \displaystyle \frac{4-3a}{a-1}=1;\)
\(a=1,25.\)
Объединив все случаи, получим ответ.
Ответ: \(a\in \left ( -\infty;\;1 \right ]\cup \left \{ 1,25 \right \}\cup \left [ \displaystyle \frac{4}{3};+\infty \right ). \)
И наконец – реальная задача ЕГЭ.
5. При каких значениях \(a\) система \(\left\{\begin{matrix}
\left ( a-1 \right )x^{2}+2ax+a+4\leq 0,\\
ax^{2}+2\left ( a+1 \right )x+a+1\geq 0
\end{matrix}\right.\; \) имеет единственное решение?
Решение:
Решением квадратного неравенства может быть:
1) отрезок;
2) 2 луча;
3) точка;
4) \( \varnothing \).
В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:
1) единственная общая точка двух лучей-решений (или интервалов-решений);
2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства.
Рассмотрим первый случай.
Решим систему:
\(\left\{\begin{matrix}
\left ( a-1 \right )x^{2}+2ax+a+4=0,\\
ax^{2}+2\left ( a+1 \right )x+a+1=0;
\end{matrix}\right.\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
D_{1}=4a^{2}-4\left ( a-1 \right )\left ( a+4 \right ),\\
D_{2}=4\left ( a+1 \right )^{2}-4a\left ( a+1 \right ).
\end{matrix}\right.\)
Если \(x_{0}\) является решением 1 и 2 уравнений, то \(x_{0}\) является решением уравнения \(x^{2}+2x-3=0\) (вычетая первое уравнение из второго) \(\Rightarrow x_{0}=1\) или \(x_{0}=-3.\)
Если \(x_{0}=1\Rightarrow a=-\displaystyle \frac{3}{4}\).
Второй корень первого уравнения:
\(\displaystyle \frac{a+4}{a-1}=\frac{-\frac{3}{4}+4}{-\frac{3}{4}-1}=-\frac{13}{7}.\)
Второй корень второго первого:
\(\displaystyle \frac{a+1}{a}=-\frac{1}{3}.\)
При этом система примет вид:
\(\left\{\begin{matrix}
\left ( -\displaystyle \frac{3}{4} -1\right )\left ( x-1 \right )\left ( x+\displaystyle \frac{13}{7} \right )\leq 0,\\
\!\!\!\!\!\!-\displaystyle \frac{3}{4}\left ( x-1 \right )\left ( x+\displaystyle \frac{1}{3} \right )\geq 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
\left ( x-1 \right )\left ( x+\displaystyle \frac{13}{7} \right )\geq 0,\\
\left ( x-1 \right )\left ( x+\displaystyle \frac{1}{3} \right )\leq 0.
\end{matrix}\right.\)
Единственное решение \(x=1.\)
Если \(x_{0}=-3\Rightarrow a=\displaystyle \frac{5}{4}\), при этом система примет вид:
\(\left\{\begin{matrix}
\left ( x+3 \right )\left ( x+7 \right )\leq 0,\\
\left ( x+3 \right )\left ( x+\displaystyle \frac{3}{5} \right )\geq 0
\end{matrix}\right.\) – бесконечно много решений, не подходит.
Рассмотрим второй случай.
\(\left ( a-1 \right )x^{2}+2ax+a+4\leq 0\) – решением является точка, если \(D=0,\; a=\displaystyle \frac{4}{3}\Rightarrow x=-4\) – является решением второго неравенства.
\(ax^{2}+2\left ( a+1 \right )x+a+1\geq 0\) – решением является точка, если \(D=0,\; a=-1\Rightarrow x=0\) – не является решением первого неравенства.
Ответ: \(a=-\displaystyle \frac{3}{4},\; a=\displaystyle \frac{4}{3}.\)
