previous arrow
next arrow
Slider

Лемма о трезубце (трилистнике)

Анна Малкова

Схема 5 называется «Лемма о трезубце».

Пусть P – центр вписанной окружности треугольника АВС, Q – центр его вневписанной окружности, касающейся стороны ВС.
Точка пересечения биссектрисы угла A треугольника ABC с его описанной окружностью равноудалена от точек B, C, Р, Q. Эта схема называется также теоремой о трилистнике.

Дан треугольник АВС, АМ – биссектриса угла А, Р – центр вписанной окружности треугольника АВС, Q – центр его вневписанной окружности (которая касается стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС), М – точка пересечения биссектрисы угла А и описанной окружности треугольника АВС. Докажем, что МР = МВ = МС.

Видите на рисунке «трезубец» (или «трилистник»), состоящий из отрезков МР, МВ, МС, МQ?

Докажем сначала, что МВ = МС = МР.

Вписанные углы ВАМ и ВСМ опираются на дугу ВМ, следовательно, они равны.

Аналогично, вписанные углы САМ и СВМ опираются на дугу СМ, и они тоже равны.

\angle BAM=\angle CAM , поскольку АМ – биссектриса угла ВАС.

Следовательно,

\angle BCM=\angle BAM=\angle CAM=\angle CBM= \alpha и треугольник ВМС – равнобедренный, ВМ = СМ.

Точка Р – центр вписанной окружности треугольника АВС. Значит, Р – точка пересечения биссектрис треугольника АВС, и тогда ВР и СР – биссектрисы его углов АВС и АСВ соответственно.

Пусть \angle BAC=2\alpha, \angle ABC=2\beta , \angle ACB=2\gamma.
Сумма углов треугольника АВС равна 180^{\circ}, значит, 2\alpha +2\beta +2\gamma =180^{\circ}.

В треугольнике ВМР:

\angle PMB=\angle ACB=2\gamma ,

\angle PBM=\alpha+\beta .

Тогда \angle BPM=\alpha+\beta=\angle PBM , треугольник ВМР равнобедренный, ВМ = РМ. Значит, точка М равноудалена от точек В, С и P. Аналогично доказывается, что МQ = ВМ = СМ = РМ.