previous arrow
next arrow
Slider

Линейная функция

Линейная функция — функция вида y = x+b. График линейной функции — прямая.

Для построения графика линейной функции достаточно двух точек — потому что через две несовпадающие точки всегда можно провести прямую, причем единственную.

Угловой коэффициент прямой

Величина k в формуле линейной функции y = kx+b называется угловым коэффициентом прямой

Если k \textgreater 0, линейная функция возрастает. Чем больше х, тем больше у, то есть график идет вправо и вверх.

Если k \textless 0, линейная функция убывает. Чем больше х, тем меньше у, то есть график идет вправо и вниз.

Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона графика линейной функции к положительному направлению оси Х.

k= tg \alpha.

Пусть k \textgreater 0. Чем больше k, тем круче вверх идет график функции.

А что же будет, если k=0? Мы получим горизонтальную прямую y = b. На рисунке показан график функции y = 3.

Заметим, что прямая x = 3 (также изображенная на рисунке) не является графиком функции в нашем обычном, школьном смысле слова. В самом деле — мы помним, что функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу множества Х соответствует один и только один элемент множества Y.

Для прямой x = 3 это не выполняется: значению x = 3 соответствует бесконечно много значений у.

Если k_1{=k}_2, прямые параллельны.

При этом, чем больше b, тем выше расположен на координатной плоскости график функции.

Например, прямые y = 4 x + 3 и y = 4 x + 9 параллельны. Их угловые коэффициенты равны.

Если k_1\, k_2=-1, прямые перпендикулярны. Например, прямые y = 4x + 3 и y = - 0,25 x - 1 пересекаются под прямым углом. Произведение их угловых коэффициентов равно — 1.

Построение графика линейной функции 

График линейной функции построить легко — достаточно двух точек.

Оказывается, что привычный нам вид уравнения прямой y = kx+b — не единственно возможный.

Уравнение прямой можно записать также в виде Ax + By + C = 0.

Построим, например, прямую, заданную уравнением 3x + 4y - 12 = 0.

При x = 0 получаем, что y = 3.

При y = 0 получаем, что x = 4.

Значит, наша прямая проходит через точки M (0; 3) и N (4; 0).

Выразив у из уравнения Ax + By + C = 0, получим уравнение прямой вида y = kx+b.

Если вы поступаете в вуз на специальность, связанную с математикой, - уже на первом курсе вы познакомитесь и с другими видами уравнения прямой.

Зачем изучать линейную функцию? 

Дело в том, что многие зависимости в природе и технике описываются формулой виде y = kx+b.

Например, закон Ома для участка цепи: U = I R. Напряжение U прямо пропорционально силе тока I.

Формула для равномерного прямолинейного движения: S= vt. Пройденное расстояние S прямо пропорционально времени.

Закон теплового расширения l\left(t\right)=l_0\left(1+ \alpha \cdot t\right), который вам встретится в одной из задач под номером 10 варианта Профильного ЕГЭ по математике — тоже линейная функция. И таких примеров можно привести очень много.

Обратите внимание, что в формулу линейной функции y = kx+b аргумент х входит в первой степени. Мы просто умножаем х на угловой коэффициент k и прибавляем b.

Если в формулу функции входит аргумент в любой другой степени — например, в квадрате или в кубе, если мы делим на х, если в формуле присутствует sin x, \frac{1}{x} или \sqrt{x}, или показательные или логарифмические выражения, зависящие от х, - график функции уже не будет прямой линией.