Линейная функция

Линейная функция — функция вида $y = x+b.$ График линейной функции — прямая.

Для построения графика линейной функции достаточно двух точек — потому что через две несовпадающие точки всегда можно провести прямую, причем единственную.

Угловой коэффициент прямой

Величина k в формуле линейной функции $y = kx+b$ называется угловым коэффициентом прямой

Если $k \textgreater 0$ , линейная функция возрастает. Чем больше х, тем больше у, то есть график идет вправо и вверх.

Если $k \textless 0$ , линейная функция убывает. Чем больше х, тем меньше у, то есть график идет вправо и вниз.

Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона графика линейной функции к положительному направлению оси Х.

$k= tg \alpha.$

Пусть $k \textgreater 0.$ Чем больше k, тем круче вверх идет график функции.

А что же будет, если $k=0$ ? Мы получим горизонтальную прямую $y = b.$ На рисунке показан график функции $y = 3.$

Заметим, что прямая $x = 3$ (также изображенная на рисунке) не является графиком функции в нашем обычном, школьном смысле слова. В самом деле — мы помним, что функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу множества Х соответствует один и только один элемент множества Y.

Для прямой $x = 3$ это не выполняется: значению $x = 3$ соответствует бесконечно много значений у.

Если $k_1{=k}_2,$ прямые параллельны.

При этом, чем больше b, тем выше расположен на координатной плоскости график функции.

Например, прямые $y = 4 x + 3$ и $y = 4 x + 9$ параллельны. Их угловые коэффициенты равны.

Если $k_1\, k_2=-1,$ прямые перпендикулярны. Например, прямые $y = 4x + 3$ и $y = - 0,25 x - 1$ пересекаются под прямым углом. Произведение их угловых коэффициентов равно — 1.

Построение графика линейной функции

График линейной функции построить легко — достаточно двух точек.

Оказывается, что привычный нам вид уравнения прямой $y = kx+b$ — не единственно возможный.

Уравнение прямой можно записать также в виде $Ax + By + C = 0.$

Построим, например, прямую, заданную уравнением $3x + 4y - 12 = 0.$

При $x = 0$ получаем, что $y = 3.$

При $y = 0$ получаем, что $x = 4.$

Значит, наша прямая проходит через точки $M (0; 3)$ и $N (4; 0).$

Выразив у из уравнения $Ax + By + C = 0$ , получим уравнение прямой вида $y = kx+b.$

Если вы поступаете в вуз на специальность, связанную с математикой, - уже на первом курсе вы познакомитесь и с другими видами уравнения прямой.

Зачем изучать линейную функцию?

Дело в том, что многие зависимости в природе и технике описываются формулой виде $y = kx+b.$

Например, закон Ома для участка цепи: $U = I R.$ Напряжение U прямо пропорционально силе тока I.

Формула для равномерного прямолинейного движения: $S= vt$ . Пройденное расстояние S прямо пропорционально времени.

Закон теплового расширения $l\left(t\right)=l_0\left(1+ \alpha \cdot t\right)$ , который вам встретится в одной из задач под номером 10 варианта Профильного ЕГЭ по математике — тоже линейная функция. И таких примеров можно привести очень много.

Обратите внимание, что в формулу линейной функции $y = kx+b$ аргумент х входит в первой степени. Мы просто умножаем х на угловой коэффициент k и прибавляем b.

Если в формулу функции входит аргумент в любой другой степени — например, в квадрате или в кубе, если мы делим на х, если в формуле присутствует $sin x, \frac{1}{x}$ или $\sqrt{x}$ , или показательные или логарифмические выражения, зависящие от х, - график функции уже не будет прямой линией.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Линейная функция» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.03.2023

Это полезно