Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{14^{1+lgx}}{7lg^2(100x)\cdot lg(0,1x)}\geq\frac{(4\cdot2^{lg10x})^{1+lgx}}{4lg^2(100x)\cdot lg(0,1x)}.\)
Решение:
Заметим, что \(lg10x=1+lgx.\)
Получим:
\(\displaystyle \frac{2^{1+lgx}\cdot7^{1+lgx}}{7\cdot lg ^2 (100x) \cdot lg (0,1x)}\geq\frac{4^{1+lgx}\cdot 2^{(1+lgx)^2}}{4\cdot lg ^2 (100x)\cdot lg (0,1x)};\)
\(\displaystyle \frac{2^{1+lgx}\cdot7^{lgx}}{lg ^2(100x)\cdot lg (0,1x)}\geq \frac{4^{lgx}\cdot2^{(1+lg x)^2}}{lg ^2 (100x)\cdot lg (0,1x)};\)
\(\displaystyle \frac{2^{1+lgx}\cdot7^{lg x}-4^{lg x}\cdot 2^{(1+lgx)^2}}{lg ^2 (100x)\cdot lg (0,1x)}\geq 0.\)
ОДЗ неравенства: \(\left\{\begin{matrix} x > 0,\\ 100x\ne1, \\ 0,1x\ne1. \end{matrix}\right.\)
Сделаем замену: \(lg x=t.\)
Тогда \(lg(100x)=lg100+lgx=2+t;\)
\(lg(0,1x)=lg0,1+lgx=t-1.\)
Получим:
\(\displaystyle \frac{2^{1+t}\cdot7^t-4^t\cdot2^{(1+t)^2}}{(2+t)^2\cdot(t-1)}\geq0;\)
\(\displaystyle \frac{2\cdot2^t\cdot7^t-2^t\cdot2^t\cdot2^{(1+t)^2}}{(2+t)^2\cdot(t-1)}\geq0.\)
Разделим обе части на \(2^t > 0: \)
\(\displaystyle \frac{2\cdot7^t-2^t\cdot2^{(1+t)^2}}{(2+t)^2\cdot(t-1)}\geq0.\)
Представим \(7^t\) как \((2^{log_2 7})^t=(2^t)^{log_2 7}:\)
\(\displaystyle \frac{2^{t\cdot log_2 7 +1}-2^{(1+t)^2+t}}{(2+t)^2(t-1)}\geq0\)
По методу замены множителя, множитель \(h^f-h^g\) можно заменить на \((h-1)(f-g):\)
\(\displaystyle \frac{(2-1)(t\cdot log_2 7+1-(1+t)^2-t)}{(2+t)^2(t-1)}\geq0;\)
\(\displaystyle \frac{t\cdot log_2 7 -2t-t^2-t}{(2+t)^2(t-1)}\geq0;\)
\(\displaystyle \frac{t(log_2 7-3)-t^2}{(2+t)^2(t-1)}\geq0;\)
\(\displaystyle \frac{t(t-(log_2 7 -3))}{(2+t)^2(t-1)}\leq0;\)
\(\displaystyle \frac{t\cdot(t-log_2 \frac{7}{8})}{(2+t)^2(t-1)}\leq0.\)
Мы записали, что \(log_2 7-3=log_2 7-log_2 8=log_2 \displaystyle \frac{7}{8}.\)
Решив неравенство методом интервалов, получим:
\(\left[ \begin{array}{ccc} t < -2, \\-2 < t \leq log_2 \displaystyle \frac{7}{8}, \\0\leq t < 1 . \end{array} \right.\)
Для переменной \(x:\)
\(\left\{\begin{matrix} lgx< -2, \\ -2< lgx\leq log_2 \displaystyle \frac{7}{8}, \\ 0\leq lg x < 1 ;\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}0< x\leq \displaystyle \frac{1}{100} ,\\\displaystyle \frac{1}{100} < x\leq 10 ^{log_2 \frac{7}{8}}, \\1\leq x < 10 .\end{matrix}\right.\)
Ответ: \(\left ( 0;\displaystyle \frac{1}{100} \right )\cup\left ( \displaystyle \frac{1}{100};10^{log_2{7-3}} \right ]\cup\left [1;10 \right ).\)
