previous arrow
next arrow
Slider

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Решите неравенство.

\frac{14^{1+lgx}}{7lg^2(100x)\cdot lg(0,1x)}\geq\frac{(4\cdot2^{lg10x})^{1+lgx}}{4lg^2(100x)\cdot lg(0,1x)}.

Заметим, что lg10x=1+lgx.

Получим:

\frac{2^{1+lgx}\cdot7^{1+lgx}}{7\cdot lg ^2 (100x) \cdot lg (0,1x)}\geq\frac{4^{1+lgx}\cdot 2^{(1+lgx)^2}}{4\cdot lg ^2 (100x)\cdot lg (0,1x)}

\frac{2^{1+lgx}\cdot7^{lgx}}{lg ^2(100x)\cdot lg (0,1x)}\geq \frac{4^{lgx}\cdot2^{(1+lg x)^2}}{lg ^2 (100x)\cdot lg (0,1x)}

\frac{2^{1+lgx}\cdot7^{lg x}-4^{lg x}\cdot 2^{(1+lgx)^2}}{lg ^2 (100x)\cdot lg (0,1x)}\geq0

ОДЗ неравенства:

\left\{\begin{matrix} x\textgreater 0\\ 100x\ne1 \\ 0,1x\ne1 \end{matrix}\right.

Сделаем замену lg x=t.

Тогда lg(100x)=lg100+lgx=2+t,

lg(0,1x)=lg0,1+lgx=t-1.

Получим:

\frac{2^{1+t}\cdot7^t-4^t\cdot2^{(1+t)^2}}{(2+t)^2\cdot(t-1)}\geq0;

\frac{2\cdot2^t\cdot7^t-2^t\cdot2^t\cdot2^{(1+t)^2}}{(2+t)^2\cdot(t-1)}\geq0;

разделим обе части на 2^t \textgreater 0;

\frac{2\cdot7^t-2^t\cdot2^{(1+t)^2}}{(2+t)^2\cdot(t-1)}\geq0

представим 7^t как (2^{log_2 7})^t=(2^t)^{log_2 7}.

\frac{2^{t\cdot log_2 7 +1}-2^{(1+t)^2+t}}{(2+t)^2(t-1)}\geq0

По методу замены множителя, множитель h^f-h^g можно заменить на (h-1)(f-g).

\frac{(2-1)(t\cdot log_2 7+1-(1+t)^2-t)}{(2+t)^2(t-1)}\geq0

\frac{t\cdot log_2 7 -2t-t^2-t}{(2+t)^2(t-1)}\geq0

\frac{t(log_2 7-3)-t^2}{(2+t)^2(t-1)}\geq0

\frac{t(t-(log_2 7 -3))}{(2+t)^2(t-1)}\leq0

\frac{t\cdot(t-log_2 \frac{7}{8})}{(2+t)^2(t-1)}\leq0

Мы записали, что log_2 7-3=log_2 7-log_2 8=log_2 \frac{7}{8};

Решив неравенство методом интервалов, получим:

\left[ \begin{array}{ccc} t \textless -2 \\-2 \textless t \leq log_2 \frac{7}{8} \hfill\\0\leq t \textless 1 \hfill \end{array} \right.

Для переменной х:

\left\{\begin{matrix} lgx\textless -2 \hfill\\ -2\textless lgx\leq log_2 \frac{7}{8}\hfill \\ 0\leq lg x \textless 1 \hfill \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}0\textless x\leq \frac{1}{100} \hfill \\\frac{1}{100}\textless x\leq 10 ^{log_2 \frac{7}{8}} \hfill \\1\leq x \textless 10 \hfill \end{matrix}\right.

Ответ: \left ( 0;\frac{1}{100} \right )\cup\left ( \frac{1}{100};10^{log_2{7-3}} \right ]\cup\left [1;10 \right ).