previous arrow
next arrow
Slider

Логарифмические уравнения

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

\log _{a}b=c\Leftrightarrow a^{c}=b.

При этом b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1.

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1.

Основное логарифмическое тождество:

a^{\log _{a}b}=b,

\log _{a}a^{c}=c.

Основные формулы для логарифмов:

\log _{a}\left ( bc \right )=\log _{a}b+\log _{a}c (Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

\log _{a}\left ( \frac{b}{c}\right )=\log _{a}b-\log _{a}c (Логарифм частного равен разности логарифмов)
\log _{a}b^{m}=m\log_{a}b (Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

\log _{a}b=\frac{\log _{c}b}{\log _{c}a}

\log _{a}b=\frac{1}{\log _{b}a} .

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

1.Решите уравнение: \log _{5}\left ( 15+x \right )=\log _{5}3

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Получаем: 15+x=3

x=-12.

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение \log _{a}b определено при b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1.

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение: \log _{2}\left ( 4-x \right )=7

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде \log _{2}2^{7}. Дальше все просто.

Ответ: -124

3. Решите уравнение: \log _{5}\left ( 5-x \right )=2\cdot \log _{5}3

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

\log _{5}\left ( 5-x \right )=\log _{5}\left ( 3^{2} \right );

\log _{5}\left ( 5-x \right )=\log _{5}9;

5-x=9;

x=-4

4. Решите уравнение: \log _{5}\left ( 4+x \right )=2

Область допустимых значений: 4-x> 0. Значит, x> -4.

Представим 2 в правой части уравнения как \log _{5}25 — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

\log _{5}\left ( 4+x \right )=\log _{5}25

Функция y=\log _{5}x монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом x> -4.

4+x=25

x=21.

Ответ: 21.

5. Решите уравнение: \log _{8}\left ( x^{2}+x \right )=\log _{8}\left ( x^{2}-4 \right )

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

\log _{8}\left ( x^{2}+x \right )=\log _{8}\left ( x^{2}-4 \right )\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}	x^{2}+x> 0\\ 	x^{2}-4> 0\\ 	x^{2}+x=x^{2}-4	\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 	\left\{\begin{matrix}	x^{2}+x> 0\\ 	x^{2}-4> 0\\ 	x=-4	\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-4
Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

6.Решите уравнение: 2^{\log _{4}\left ( 4x+5 \right )}=9.

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

\log _{4}b=\frac{\log _{2}b}{\log _{2}4}=\frac{\log _{2}b}{2}

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

2^{\log _{4}\left ( 4x+5 \right )}=9\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 	2^\frac{{\log _{2}\left ( 4x+5 \right )}}{2}=9\\  	4x+5> 0 	\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 	\left (2^{\log _{2}\left ( 4x+5 \right )}  \right )^{\frac{1}{2}}=9\\  	x> -1\frac{1}{4} 	\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 	\left ( 4x+5 \right )^{\frac{1}{2}}=9\\  	x> -1\frac{1}{4} 	\end{matrix}\right.\Leftrightarrow  	\left\{\begin{matrix} 	\sqrt{4x+5}=9\\  	x> -1\frac{1}{4} 	\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 	4x+5=81\\  	x> -1\frac{1}{4} 	\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 	x=19\\  	x> -1\frac{1}{4} 	\end{matrix}\right.

Ответ: 19.

7.Решите уравнение: \log _{x}x^{2}=\log _{x}\left ( 12-x \right ).

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:
\left\{\begin{matrix}	12-x> 0\\ 	x> 0\\ 	x\neq 1	\end{matrix}\right.

Теперь можно «убрать» логарифмы.

x^{2}=12-x

x^{2}+x-12=0

x_{1}=3;\;x_{2}=-4 — посторонний корень, поскольку должно выполняться условие x> 0.

Ответ: x=3

8. Решите уравнение 6\log _{8}^{2}x-5\log _{8}x+1=0.

ОДЗ уравнения: x> 0

Сделаем замену \log _{8}x=t. Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

6t^{2}-5t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc}	t=\frac{1}{2}\\	t=\frac{1}{3}	\end{array}	\right.

Вернемся к переменной х:

\left[ \begin{array}{ccc} 	\log _{8}x=\frac{1}{2}\\ 	\log _{8}x=\frac{1}{3} 	\end{array} 	\right.\Leftrightarrow  	\left[ \begin{array}{ccc} 	x=8^{\frac{1}{2}}\\ 	x=8^{\frac{1}{3}} 	\end{array} 	\right.\Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{ccc} 	x=\sqrt{8}\\ 	x=2 	\end{array} 	\right.

9.Решите уравнение:
1+\log _{3}\left ( x^{4}+25 \right )=\log _{\sqrt{3}}\sqrt{30x^{2}+12}

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине x^{4} прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

\log _{3}3\left ( x^{4}+25 \right )=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \log _{3}\left (30x^{2}+12  \right )

\left (30x^{2}+12  \right )

«Отбрасываем» логарифмы.

3\left ( x^{4}+25 \right) = 30x^{2}+12

3 x^{4} - 30x^{2}+63=0

x^{4} - 10x^{2}+21=0

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения x^{2} и x^{4}. Сделаем замену x^{2}=t,\;t\geq 0

t^{2}-10t+21=0

\left[	\begin{array}{ccc} 	t_{1}=3\\	t_{2}=7	\end{array}	\right.

Вернемся к переменной х. Получим:

x_{1}=\sqrt{3},\;x_{2}=-\sqrt{3},\;x_{3}=\sqrt{7},\;x_{4}=-\sqrt{7} . Мы нашли все корни исходного уравнения.

Ответ: \sqrt{3},\;-\sqrt{3},\;\sqrt{7},\;-\sqrt{7}.

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №5 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №13. И если в задании №5 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 13 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.