Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.
Логарифм положительного числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени, в которую надо возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
\(\log _{a}b=c\Leftrightarrow a^{c}=b\).
При этом \(b> 0, \; a> 0, \; a\neq 1\).
Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:
\(b> 0, \; a> 0, \; a\neq 1\).
Основное логарифмическое тождество:
\(a^{\log _{a}b}=b\),
\(\log _{a}a^{c}=c\).
Основные формулы для логарифмов:
\(\log _{a}\left ( bc \right )=\log _{a}b+\log _{a}c\) (Логарифм произведения равен сумме логарифмов).
\(\log _{a}\left ( \frac{b}{c}\right )=\log _{a}b-\log _{a}c\) (Логарифм частного равен разности логарифмов).
\(\log _{a}b^{m}=m\log_{a}b\) (Формула для логарифма степени).
Формула перехода к новому основанию:
\( \log _{a}b=\displaystyle \frac{\log _{c}b}{\log _{c}a};\)
\(\log _{a}b=\displaystyle \frac{1}{\log _{b}a}\).
Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.
Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.
Простейшие логарифмические уравнения
1. Решите уравнение: \(\log _{5}\left ( 15+x \right )=\log _{5}3.\)
Решение:
Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.
Получаем: \(15+x=3.\)
\(x=-12.\)
Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение \(\log _{a}b\) определено при \(b> 0, \; a> 0, \; a\neq 1\).
Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.
2. Решите уравнение: \(\log _{2}\left ( 4-x \right )=7.\)
Решение:
В левой части уравнения – логарифм, в правой – число \(7\). Применив основное логарифмическое тождество, представим число \(7\) в виде \(\log _{2}2^{7}\). Дальше все просто.
Ответ: -124
3. Решите уравнение: \(\log _{5}\left ( 5-x \right )=2\cdot \log _{5}3.\)
Решение:
Видите число \(2\) перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию \(5\)? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.
\(\log _{5}\left ( 5-x \right )=\log _{5}\left ( 3^{2} \right )\);
\(\log _{5}\left ( 5-x \right )=\log _{5}9\);
\(5-x=9\);
\(x=-4\)
4. Решите уравнение: \(\log _{5}\left ( 4+x \right )=2.\)
Решение:
Область допустимых значений: \(4+x> 0.\) Значит, \(x> -4.\)
Представим \(2\) в правой части уравнения как \(\log _{5}25\) — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию \(5\).
\(\log _{5}\left ( 4+x \right )=\log _{5}25.\)
Функция \(y=\log _{5}x\) монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом \(x> -4\).
\(4+x=25;\)
\(x=21.\)
Ответ: 21.
5. Решите уравнение: \(\log _{8}\left ( x^{2}+x \right )=\log _{8}\left ( x^{2}-4 \right ).\)
Решение:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:
\(\log _{8}\left ( x^{2}+x \right )=\log _{8}\left ( x^{2}-4 \right )\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{2}+x> 0,\\
x^{2}-4> 0,\\
x^{2}+x=x^{2}-4;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
x^{2}+x> 0,\\
x^{2}-4> 0,\\
x=-4;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-4.\)
Ответ: –4.
Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.
6. Решите уравнение: \(2^{\log _{4}\left ( 4x+5 \right )}=9\).
Решение:
Перейдем от логарифма по основанию \(4\) (в показателе) к логарифму по основанию \(2\). Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:
\(\log _{4}b=\displaystyle \frac{\log _{2}b}{\log _{2}4}=\displaystyle \frac{\log _{2}b}{2}.\)
Запишем решение как цепочку равносильных переходов.
\(2^{\log _{4}\left ( 4x+5 \right )}=9\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2^\frac{{\log _{2}\left ( 4x+5 \right )}}{2}=9,\\
4x+5> 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left (2^{\log _{2}\left ( 4x+5 \right )} \right )^{\frac{1}{2}}=9,\\
x> -1\displaystyle\frac{1}{4};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left ( 4x+5 \right )^{\frac{1}{2}}=9,\\
x> -1\displaystyle\frac{1}{4};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
\sqrt{4x+5}=9,\\
x> -1\displaystyle\frac{1}{4};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
4x+5=81,\\
x> -1\displaystyle\frac{1}{4};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=19,\\
x> -1\displaystyle\frac{1}{4}.
\end{matrix}\right.\)
Ответ: 19.
7. Решите уравнение: \(\log _{x}x^{2}=\log _{x}\left ( 12-x \right )\).
Решение:
Обратите внимание: переменная \(x\) и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно\(\).
ОДЗ:
\(\left\{\begin{matrix}
12-x> 0,\\
x> 0,\\
x\neq 1.
\end{matrix}\right.\)
Теперь можно «убрать» логарифмы.
\(x^{2}=12-x;\)
\(x^{2}+x-12=0;\)
\(x_{1}=3; \; x_{2}=-4\) — посторонний корень, поскольку должно выполняться условие \(x> 0\).
Ответ: \(x=3.\)
8. Решите уравнение: \(6\log _{8}^{2}x-5\log _{8}x+1=0\).
ОДЗ уравнения: \(x> 0.\)
Сделаем замену \(\log _{8}x=t\). Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.
\(6t^{2}-5t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc}
t=\displaystyle\frac{1}{2},\\
t=\displaystyle\frac{1}{3}.
\end{array}
\right. \)
Вернемся к переменной \(x\):
\(\left[ \begin{array}{ccc}
\log _{8}x=\displaystyle \frac{1}{2},\\
\log _{8}x=\displaystyle \frac{1}{3};
\end{array}
\right.\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{ccc}
x=8^{\frac{1}{2}},\\
x=8^{\frac{1}{3}};
\end{array}
\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc}
x=\sqrt{8},\\
x=2.
\end{array}
\right. \)
9. Решите уравнение: \(1+\log _{3}\left ( x^{4}+25 \right )=\log _{\sqrt{3}}\sqrt{30x^{2}+12}.\)
Решение:
Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине \(x^{4}\) прибавляем \(25\). Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, \(x\) может быть любым действительным числом.
Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию \(3\). И используем формулу логарифма степени.
\(\log _{3}3\left ( x^{4}+25 \right )=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \log _{3}\left (30x^{2}+12 \right );\)
\(\log _{3}3\left ( x^{4}+25 \right )=\log _{3}\left ( 30x^{2}+12 \right ).\)
«Отбрасываем» логарифмы.
\(3\left ( x^{4}+25 \right) = 30x^{2}+12; \)
\(3 x^{4} - 30x^{2}+63=0; \)
\(x^{4} - 10x^{2}+21=0.\)
Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения \(x^{2}\) и \(x^{4}\). Сделаем замену \(x^{2}=t, \; t\geq 0.\)
\(t^{2}-10t+21=0.\)
\(\left[
\begin{array}{ccc}
t_{1}=3,\\
t_{2}=7.
\end{array}
\right.\)
Вернемся к переменной \(x\). Получим:
\(x_{1}=\sqrt{3}, \; x_{2}=-\sqrt{3}, \; x_{3}=\sqrt{7}, \; x_{4}=-\sqrt{7}\). Мы нашли все корни исходного уравнения.
Ответ: \(\sqrt{3}, \; -\sqrt{3}, \; \sqrt{7}, \; -\sqrt{7}\).
Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №13. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 13 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.
