Slider

Логарифмические уравнения

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

\log _{a}b=c\Leftrightarrow a^{c}=b.

При этом b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1.

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1.

Основное логарифмическое тождество:

a^{\log _{a}b}=b,

\log _{a}a^{c}=c.

Основные формулы для логарифмов:

\log _{a}\left ( bc \right )=\log _{a}b+\log _{a}c (Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

\log _{a}\left ( \frac{b}{c}\right )=\log _{a}b-\log _{a}c (Логарифм частного равен разности логарифмов)
\log _{a}b^{m}=m\log_{a}b (Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

\log _{a}b=\frac{\log _{c}b}{\log _{c}a}

\log _{a}b=\frac{1}{\log _{b}a} .

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

1.Решите уравнение: \log _{5}\left ( 15+x \right )=\log _{5}3

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Получаем: 15+x=3

x=-12.

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение \log _{a}b определено при b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1.

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение: \log _{2}\left ( 4-x \right )=7

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде \log _{2}2^{7}. Дальше все просто.

Ответ: -124

3. Решите уравнение: \log _{5}\left ( 5-x \right )=2\cdot \log _{5}3

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

\log _{5}\left ( 5-x \right )=\log _{5}\left ( 3^{2} \right );

\log _{5}\left ( 5-x \right )=\log _{5}9;

5-x=9;

x=-4

4. Решите уравнение: \log _{5}\left ( 4+x \right )=2

Область допустимых значений: 4-x> 0. Значит, x> -4.

Представим 2 в правой части уравнения как \log _{5}25 — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

\log _{5}\left ( 4+x \right )=\log _{5}25

Функция y=\log _{5}x монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом x> -4.

4+x=25

x=21.

Ответ: 21.

5. Решите уравнение: \log _{8}\left ( x^{2}+x \right )=\log _{8}\left ( x^{2}-4 \right )

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

\log _{8}\left ( x^{2}+x \right )=\log _{8}\left ( x^{2}-4 \right )\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}	x^{2}+x> 0\\ 	x^{2}-4> 0\\ 	x^{2}+x=x^{2}-4	\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 	\left\{\begin{matrix}	x^{2}+x> 0\\ 	x^{2}-4> 0\\ 	x=-4	\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-4
Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

6.Решите уравнение: 2^{\log _{4}\left ( 4x+5 \right )}=9.

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

\log _{4}b=\frac{\log _{2}b}{\log _{2}4}=\frac{\log _{2}b}{2}

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

2^{\log _{4}\left ( 4x+5 \right )}=9\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 	2^\frac{{\log _{2}\left ( 4x+5 \right )}}{2}=9\\  	4x+5> 0 	\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 	\left (2^{\log _{2}\left ( 4x+5 \right )}  \right )^{\frac{1}{2}}=9\\  	x> -1\frac{1}{4} 	\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 	\left ( 4x+5 \right )^{\frac{1}{2}}=9\\  	x> -1\frac{1}{4} 	\end{matrix}\right.\Leftrightarrow  	\left\{\begin{matrix} 	\sqrt{4x+5}=9\\  	x> -1\frac{1}{4} 	\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 	4x+5=81\\  	x> -1\frac{1}{4} 	\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 	x=19\\  	x> -1\frac{1}{4} 	\end{matrix}\right.

Ответ: 19.

7.Решите уравнение: \log _{x}x^{2}=\log _{x}\left ( 12-x \right ).

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:
\left\{\begin{matrix}	12-x> 0\\ 	x> 0\\ 	x\neq 1	\end{matrix}\right.

Теперь можно «убрать» логарифмы.

x^{2}=12-x

x^{2}+x-12=0

x_{1}=3;\;x_{2}=-4 — посторонний корень, поскольку должно выполняться условие x> 0.

Ответ: x=3

8. Решите уравнение 6\log _{8}^{2}x-5\log _{8}x+1=0.

ОДЗ уравнения: x> 0

Сделаем замену \log _{8}x=t. Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

6t^{2}-5t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc}	t=\frac{1}{2}\\	t=\frac{1}{3}	\end{array}	\right.

Вернемся к переменной х:

\left[ \begin{array}{ccc} 	\log _{8}x=\frac{1}{2}\\ 	\log _{8}x=\frac{1}{3} 	\end{array} 	\right.\Leftrightarrow  	\left[ \begin{array}{ccc} 	x=8^{\frac{1}{2}}\\ 	x=8^{\frac{1}{3}} 	\end{array} 	\right.\Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{ccc} 	x=\sqrt{8}\\ 	x=2 	\end{array} 	\right.

9.Решите уравнение:
1+\log _{3}\left ( x^{4}+25 \right )=\log _{\sqrt{3}}\sqrt{30x^{2}+12}

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине x^{4} прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

\log _{3}3\left ( x^{4}+25 \right )=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \log _{3}\left (30x^{2}+12  \right )

\left (30x^{2}+12  \right )

«Отбрасываем» логарифмы.

3\left ( x^{4}+25 \right) = 30x^{2}+12

3 x^{4} - 30x^{2}+63=0

x^{4} - 10x^{2}+21=0

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения x^{2} и x^{4}. Сделаем замену x^{2}=t,\;t\geq 0

t^{2}-10t+21=0

\left[	\begin{array}{ccc} 	t_{1}=3\\	t_{2}=7	\end{array}	\right.

Вернемся к переменной х. Получим:

x_{1}=\sqrt{3},\;x_{2}=-\sqrt{3},\;x_{3}=\sqrt{7},\;x_{4}=-\sqrt{7} . Мы нашли все корни исходного уравнения.

Ответ: \sqrt{3},\;-\sqrt{3},\;\sqrt{7},\;-\sqrt{7}.

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №5 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №13. И если в задании №5 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 13 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных