Логарифмические уравнения

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

$\log _{a}b=c\Leftrightarrow a^{c}=b$ .

При этом $b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1$ .

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

$b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1$ .

Основное логарифмическое тождество:

$a^{\log _{a}b}=b$ ,

$\log _{a}a^{c}=c$ .

Основные формулы для логарифмов:

$\log _{a}\left ( bc \right )=\log _{a}b+\log _{a}c$ (Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

$\log _{a}\left ( \frac{b}{c}\right )=\log _{a}b-\log _{a}c$ (Логарифм частного равен разности логарифмов)
$\log _{a}b^{m}=m\log_{a}b$ (Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

$\log _{a}b=\frac{\log _{c}b}{\log _{c}a}$

$\log _{a}b=\frac{1}{\log _{b}a}$ .

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

1.Решите уравнение: $\log _{5}\left ( 15+x \right )=\log _{5}3$

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Получаем: $15+x=3$

$x=-12.$

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение $\log _{a}b$ определено при $b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1$ .

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение: $\log _{2}\left ( 4-x \right )=7$

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде $\log _{2}2^{7}$ . Дальше все просто.

Ответ: -124

3. Решите уравнение: $\log _{5}\left ( 5-x \right )=2\cdot \log _{5}3$

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

$\log _{5}\left ( 5-x \right )=\log _{5}\left ( 3^{2} \right )$ ;

$\log _{5}\left ( 5-x \right )=\log _{5}9$ ;

$5-x=9$ ;

$x=-4$

4. Решите уравнение: $\log _{5}\left ( 4+x \right )=2$

Область допустимых значений: $4+x> 0.$ Значит, $x> -4.$

Представим 2 в правой части уравнения как $\log _{5}25$ — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

$\log _{5}\left ( 4+x \right )=\log _{5}25$

Функция $y=\log _{5}x$ монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом $x> -4$ .

$4+x=25$

$x=21$ .

Ответ: 21.

5. Решите уравнение: $\log _{8}\left ( x^{2}+x \right )=\log _{8}\left ( x^{2}-4 \right )$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

$\log _{8}\left ( x^{2}+x \right )=\log _{8}\left ( x^{2}-4 \right )\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+x> 0\\ x^{2}-4> 0\\ x^{2}+x=x^{2}-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+x> 0\\ x^{2}-4> 0\\ x=-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-4$
Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

6.Решите уравнение: $2^{\log _{4}\left ( 4x+5 \right )}=9$ .

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

$\log _{4}b=\frac{\log _{2}b}{\log _{2}4}=\frac{\log _{2}b}{2}$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

$2^{\log _{4}\left ( 4x+5 \right )}=9\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2^\frac{{\log _{2}\left ( 4x+5 \right )}}{2}=9\\ 4x+5> 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left (2^{\log _{2}\left ( 4x+5 \right )} \right )^{\frac{1}{2}}=9\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( 4x+5 \right )^{\frac{1}{2}}=9\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{4x+5}=9\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x+5=81\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=19\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

Ответ: 19.

7.Решите уравнение: $\log _{x}x^{2}=\log _{x}\left ( 12-x \right )$ .

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:
$\left\{\begin{matrix} 12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end{matrix}\right.$

Теперь можно «убрать» логарифмы.

$x^{2}=12-x$

$x^{2}+x-12=0$

$x_{1}=3;\;x_{2}=-4$ — посторонний корень, поскольку должно выполняться условие $x> 0$ .

Ответ: $x=3$

8. Решите уравнение $6\log _{8}^{2}x-5\log _{8}x+1=0$ .

ОДЗ уравнения: $x> 0$

Сделаем замену $\log _{8}x=t$ . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

$6t^{2}-5t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} t=\frac{1}{2}\\ t=\frac{1}{3} \end{array} \right.$

Вернемся к переменной х:

$\left[ \begin{array}{ccc} \log _{8}x=\frac{1}{2}\\ \log _{8}x=\frac{1}{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x=8^{\frac{1}{2}}\\ x=8^{\frac{1}{3}} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x=\sqrt{8}\\ x=2 \end{array} \right.$

9.Решите уравнение:
$1+\log _{3}\left ( x^{4}+25 \right )=\log _{\sqrt{3}}\sqrt{30x^{2}+12}$

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине $x^{4}$ прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

$\log _{3}3\left ( x^{4}+25 \right )=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \log _{3}\left (30x^{2}+12 \right )$

$\left (30x^{2}+12 \right )$

«Отбрасываем» логарифмы.

$3\left ( x^{4}+25 \right) = 30x^{2}+12$

$3 x^{4} - 30x^{2}+63=0$

$x^{4} - 10x^{2}+21=0$

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения $x^{2}$ и $x^{4}$ . Сделаем замену $x^{2}=t,\;t\geq 0$

$t^{2}-10t+21=0$

$\left[ \begin{array}{ccc} t_{1}=3\\ t_{2}=7 \end{array} \right.$

Вернемся к переменной х. Получим:

$x_{1}=\sqrt{3},\;x_{2}=-\sqrt{3},\;x_{3}=\sqrt{7},\;x_{4}=-\sqrt{7}$ . Мы нашли все корни исходного уравнения.

Ответ: $\sqrt{3},\;-\sqrt{3},\;\sqrt{7},\;-\sqrt{7}$ .

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Логарифмические уравнения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 05.09.2023

Это полезно