previous arrow
next arrow
Slider

Логарифмические уравнения

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени, в которую надо возвести \(a\), чтобы получить \(b\).

\(\log _{a}b=c\Leftrightarrow a^{c}=b\).

При этом \(b> 0, \; a> 0, \; a\neq 1\).

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

\(b> 0, \; a> 0, \; a\neq 1\).

Основное логарифмическое тождество:

\(a^{\log _{a}b}=b\),

\(\log _{a}a^{c}=c\).

Основные формулы для логарифмов:

\(\log _{a}\left ( bc \right )=\log _{a}b+\log _{a}c\) (Логарифм произведения равен сумме логарифмов).

\(\log _{a}\left ( \frac{b}{c}\right )=\log _{a}b-\log _{a}c\) (Логарифм частного равен разности логарифмов).

\(\log _{a}b^{m}=m\log_{a}b\) (Формула для логарифма степени).

Формула перехода к новому основанию:

\( \log _{a}b=\displaystyle \frac{\log _{c}b}{\log _{c}a};\)

\(\log _{a}b=\displaystyle \frac{1}{\log _{b}a}\).

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

1. Решите уравнение: \(\log _{5}\left ( 15+x \right )=\log _{5}3.\)

Решение:

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Получаем: \(15+x=3.\)

\(x=-12.\)

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение \(\log _{a}b\) определено при \(b> 0, \; a> 0, \; a\neq 1\).

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение: \(\log _{2}\left ( 4-x \right )=7.\)

Решение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число \(7\). Применив основное логарифмическое тождество, представим число \(7\) в виде \(\log _{2}2^{7}\). Дальше все просто.

Ответ: -124

3. Решите уравнение: \(\log _{5}\left ( 5-x \right )=2\cdot \log _{5}3.\)

Решение:

Видите число \(2\) перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию \(5\)? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

\(\log _{5}\left ( 5-x \right )=\log _{5}\left ( 3^{2} \right )\);

\(\log _{5}\left ( 5-x \right )=\log _{5}9\);

\(5-x=9\);

\(x=-4\)

4. Решите уравнение: \(\log _{5}\left ( 4+x \right )=2.\)

Решение:

Область допустимых значений: \(4+x> 0.\) Значит, \(x> -4.\)

Представим \(2\) в правой части уравнения как \(\log _{5}25\) — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию \(5\).

\(\log _{5}\left ( 4+x \right )=\log _{5}25.\)

Функция \(y=\log _{5}x\) монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом \(x> -4\).

\(4+x=25;\)

\(x=21.\)

Ответ: 21.

5. Решите уравнение: \(\log _{8}\left ( x^{2}+x \right )=\log _{8}\left ( x^{2}-4 \right ).\)

Решение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

\(\log _{8}\left ( x^{2}+x \right )=\log _{8}\left ( x^{2}-4 \right )\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{2}+x> 0,\\
x^{2}-4> 0,\\
x^{2}+x=x^{2}-4;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
x^{2}+x> 0,\\
x^{2}-4> 0,\\
x=-4;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-4.\)

Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

6. Решите уравнение: \(2^{\log _{4}\left ( 4x+5 \right )}=9\).

Решение:

Перейдем от логарифма по основанию \(4\) (в показателе) к логарифму по основанию \(2\). Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

\(\log _{4}b=\displaystyle \frac{\log _{2}b}{\log _{2}4}=\displaystyle \frac{\log _{2}b}{2}.\)

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

\(2^{\log _{4}\left ( 4x+5 \right )}=9\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2^\frac{{\log _{2}\left ( 4x+5 \right )}}{2}=9,\\
4x+5> 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left (2^{\log _{2}\left ( 4x+5 \right )} \right )^{\frac{1}{2}}=9,\\
x> -1\displaystyle\frac{1}{4};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left ( 4x+5 \right )^{\frac{1}{2}}=9,\\
x> -1\displaystyle\frac{1}{4};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
\sqrt{4x+5}=9,\\
x> -1\displaystyle\frac{1}{4};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
4x+5=81,\\
x> -1\displaystyle\frac{1}{4};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=19,\\
x> -1\displaystyle\frac{1}{4}.
\end{matrix}\right.\)

Ответ: 19.

7. Решите уравнение: \(\log _{x}x^{2}=\log _{x}\left ( 12-x \right )\).

Решение:

Обратите внимание: переменная \(x\) и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно\(\).

ОДЗ:

\(\left\{\begin{matrix}
12-x> 0,\\
x> 0,\\
x\neq 1.
\end{matrix}\right.\)

Теперь можно «убрать» логарифмы.

\(x^{2}=12-x;\)

\(x^{2}+x-12=0;\)

\(x_{1}=3; \; x_{2}=-4\) — посторонний корень, поскольку должно выполняться условие \(x> 0\).

Ответ: \(x=3.\)

8. Решите уравнение: \(6\log _{8}^{2}x-5\log _{8}x+1=0\).

ОДЗ уравнения: \(x> 0.\)

Сделаем замену \(\log _{8}x=t\). Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

\(6t^{2}-5t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc}
t=\displaystyle\frac{1}{2},\\
t=\displaystyle\frac{1}{3}.
\end{array}
\right. \)

Вернемся к переменной \(x\):

\(\left[ \begin{array}{ccc}
\log _{8}x=\displaystyle \frac{1}{2},\\
\log _{8}x=\displaystyle \frac{1}{3};
\end{array}
\right.\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{ccc}
x=8^{\frac{1}{2}},\\
x=8^{\frac{1}{3}};
\end{array}
\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc}
x=\sqrt{8},\\
x=2.
\end{array}
\right. \)

9. Решите уравнение: \(1+\log _{3}\left ( x^{4}+25 \right )=\log _{\sqrt{3}}\sqrt{30x^{2}+12}.\)

Решение:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине \(x^{4}\) прибавляем \(25\). Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, \(x\) может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию \(3\). И используем формулу логарифма степени.

\(\log _{3}3\left ( x^{4}+25 \right )=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \log _{3}\left (30x^{2}+12 \right );\)

\(\log _{3}3\left ( x^{4}+25 \right )=\log _{3}\left ( 30x^{2}+12 \right ).\)

«Отбрасываем» логарифмы.

\(3\left ( x^{4}+25 \right) = 30x^{2}+12; \)

\(3 x^{4} - 30x^{2}+63=0; \)

\(x^{4} - 10x^{2}+21=0.\)

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения \(x^{2}\) и \(x^{4}\). Сделаем замену \(x^{2}=t, \; t\geq 0.\)

\(t^{2}-10t+21=0.\)

\(\left[
\begin{array}{ccc}
t_{1}=3,\\
t_{2}=7.
\end{array}
\right.\)

Вернемся к переменной \(x\). Получим:

\(x_{1}=\sqrt{3}, \; x_{2}=-\sqrt{3}, \; x_{3}=\sqrt{7}, \; x_{4}=-\sqrt{7}\). Мы нашли все корни исходного уравнения.

Ответ: \(\sqrt{3}, \; -\sqrt{3}, \; \sqrt{7}, \; -\sqrt{7}\).

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №13. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 13 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.