Анна Малкова
Математическое ожидание случайной величины – это ее среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний.
Пусть случайная величина принимает значения \(x_1, x_2, x_3...x_n\) с вероятностями \(p_1, p_2, p_3...p_n\) соответственно.
Математическое ожидание случайной величины вычисляется как сумма значений этой случайной величины, умноженных на вероятности этих значений.
\(M=x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+x_3\cdot p_3 +...x_n\cdot p_n\).
1. В таблице показано количество билетов и возможные выигрыши беспроигрышной денежной лотереи. Цена билета лотереи равна 50 рублей. Всего билетов выпущено 1000 штук. Участник покупает один случайный билет. На сколько рублей цена билета выше, чем математическое ожидание выигрыша?
| Выигрыш | 10 | 50 | 100 | 5000 |
| Количество билетов |
990 | 6 | 3 | 1 |
Решение:
В нашем случае матожидание M - это средний выигрыш участника.
\(M=10\cdot 0,99+50\cdot 0,006+100\cdot 0,003+5000\cdot 0,001=9,9+0,3+0,3+5=15,5\).
Найдем разницу между ценой билета и математическим ожиданием выигрыша.
\(50 – 15,5 = 34,5\).
Ответ: 34,5
Что же мы получили? Участник лотереи покупает билет за 50 рублей. Среднеожидаемый выигрыш 15 рублей 50 копеек. А это значит, что для участника, покупающего лотерейный билет, среднеожидаемый проигрыш составляет 34 рубля и 50 копеек. Но не говорит: «Я покупаю лотерейный билет, чтобы проиграть 34 с половиной рубля». Все надеются выиграть 5000 рублей.
Эта лотерея в задаче – беспроигрышная. А в реальности проигравшим не достается и 10 рублей.
Вот почему говорят, что в казино всегда выигрывает владелец казино. Даже если кто-то из клиентов выиграет, казино не разорится, потому что остальные клиенты заплатили денег больше, чем выиграли.
Выходит, что клиенты казино играют в игру… с отрицательным математическим ожиданием!
Свойства математического ожидания:
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной величине
\(M(C) = C\)
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания
\(M(CX) = C \cdot M(X)\)
3) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий
\(M (X + Y ) = M (X) + M (Y) \).
4) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
\(M (X + Y ) = M (X) \cdot M (Y)\).
2. Татьяна Сиротина
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, команда должна набрать не менее 4 очков в трех играх. В случае выигрыша начисляется 2 очка, в случае проигрыша – 0 очков. Вероятность выиграть в первой игре равна 0,5, во второй – 0,8, в третьей – 0,4. Найдите математическое ожидание общего числа очков, которые может набрать команда в трех играх.
Решение.
Команда выиграет каждую из трех игр с вероятностями \(p_1=0,5\), \(p_2=0,8\) и \(p_3=0,4\). Найдем математическое ожидание общего числа набранных очков.
Количество очков, набранных в первой игре, – случайная величина, которая может принимать только два значения:
2 – выигрыш с вероятностью \(0,5\),
0 – проигрыш с вероятностью \(1 - 0,5 = 0,5\).
Математическое ожидание количества очков, набранных в первой игре:
\(M(X_1) = 2\cdot 0,5+0\cdot 0,5=1\).
Аналогично находим математические ожидания количества набранных очков во второй и третьей играх:
\(M(X_2) =2\cdot 0,8+0\cdot(1-0,8)=1,6\),
\(M(X_3) = 2\cdot 0,4+0\cdot (1-0,4)=0,8\).
Общее число набранных очков есть также случайная величина, состоящая из суммы набранных очков в каждой из трех игр: \(X=X_1+ X_2+X_3\).
Найдем математическое ожидание:
\(M(X)=M(X_1 + X_2+ X_3) =M(X_1)+ M(X_2)+M(X_3) = 1 + 1,6 + 0,8 = 3,4\).
Ответ: 3,4.
3. Татьяна Сиротина
Чтобы спасти Елену Прекрасную, Иван-Царевич должен ответить правильно не менее, чем на 2 вопроса Кащея Бессмертного. Иван правильно отвечает на первый вопрос с вероятностью 0,7, на второй вопрос – с вероятностью 0,9, на третий вопрос – с вероятностью 0,6. Найдите математическое ожидание общего числа вопросов, на которые Иван-Царевич ответит правильно.
Решение:
Иван предпринимает попытки правильно ответить на три вопроса с вероятностями \(p_1=0,7\), \(p_2=0,9\) и \(p_3=0,6\).
Количество правильных ответов на первый вопрос – случайная величина, которая может принимать только два значения:
1 – правильный ответ, с вероятностью \(0,7\),
0 – неправильный ответ, с вероятностью \(1 – 0,7 = 0,3\).
Математическое ожидание количества правильных ответов на первый вопрос:
\(M(X_1) =1\cdot 0,7+0\cdot 0,3=0,7 \).
Аналогично находим математические ожидания количества правильных ответов на второй и третий вопросы:
\(M(X_2) =1\cdot 0,9+0\cdot (1-0,9)=0,9 \),
\(M(X_3) = 1\cdot 0,6+0\cdot (1-0,6)=0,6 \).
Общее число правильных ответов есть также случайная величина, состоящая из суммы правильных ответов в каждом из трех вопросов: \(X = X_1 + X_2 + X_3\).
Искомое математическое ожидание:
\(M(X) = M(X_1+ X_2 + X_3) = M(X_1)+ M(X_2)+M(X_3) = 0,7 + 0,9 + 0,6 = 2,2\).
Ответ: 2,2.
