Признаки делимости на 11
Число \(a\) делится на \(11\) тогда и только тогда, когда суммы цифр на четных и нечетных позициях числа \(a\) равны или их разность кратна \(11\).
Проверим, делится ли на \(11\) число \(398761\).
Цифры на четных позициях этого числа отметим зеленым, а нечетных - оранжевым.
398761
Сумма цифр на четных позициях (зеленых): \(9+7+1=17.\)
Сумма цифр на нечетных позициях (оранжевых): \(3+8+6=17.\)
Суммы цифр на четных и нечетных позициях числа \(398761\) равны. Значит, число \(398761\) делится на \(11\).
Другой пример: число \(52476809\).
Так же, как в предыдущем примере, цифры на четных позициях этого числа отметим зеленым, а на нечетных - оранжевым.
52476809
Сумма цифр на четных позициях (зеленых): \(2+7+8+9=26.\)
Сумма цифр на нечетных позициях (оранжевых): \(5+4+6+0=15.\)
\(26-15=11\), значит, число \(52476809\) делится на \(11\).
Делимость на 11 в задачах Профильного ЕГЭ по математике
1. Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на \(11\).
а) Является ли число \(1234\) хорошим?
б) Является ли число \(12345\) хорошим?
в) Найти наибольшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.
Решение:
Число \(a\) делится на \(11\), если суммы цифр на четных и нечетных позициях числа \(a\) равны или их разность кратна \(11.\)
а) Из цифр \(1, 2, 3, 4\) составим число \(1243\). Это число делится на \(11\), потому что в нем равны суммы цифр на четных и нечетных позициях: \(1+4=2+3.\)
\(1243=11\cdot 113.\)
б) \(1+2+3+4+5=15\) - нечетное число, и его нельзя представить в виде суммы двух одинаковых целых чисел. Значит, из цифр \(1, 2, 3, 4, 5\) невозможно составить число, в котором равны суммы цифр на четных и нечетных позициях.
Но, может быть, удастся так разбить цифры \(1, 2, 3, 4, 5\) на две группы, что суммы цифр в этих группах будут отличаться на \(11\), или на \(22\), или на \(33\) - в общем, на число, кратное \(11\)?
Предположим, что цифры \(1, 2, 3, 4, 5\) можно разбить на две такие группы. Пусть суммы цифр в этих группах равны \(S_{1}\) и \(S_{2}\), при чем \(S_{1}> S_{2}.\)
Тогда \(S_{1}+ S_{2}=15,\)
\(S_{1}- S_{2}=11k\) (разность этих сумм кратна \(11\)).
Из первого уравнения: \(S_{1}=15-S_{2}. \)
Подставим во второе уравнение: \(15-2S_{2}=11k.\)
Ясно, что \(11k< 15\), и \(k=1\). Тогда \(S_{2}=2\). Но среди цифр \(1, 2, 3, 4, 5\) невозможно найти две или три такие, что их сумма равна \(2\). Противоречие. Нет, число \(12345\) не является «хорошим».
в) Нечетные цифры - это \(1, 3, 5, 7\) и \(9.\)
Четырехзначное «хорошее» число, состоящее из нечетных цифр, найти легко. Например, \(9753\) - максимально возможное число, которое можно составить из нечетных цифр, и оно «хорошее», потому что число \(9537\) удовлетворяет признакам делимости на \(11\).
Может быть, удастся составить из нечетных цифр пятизначное «хорошее» число?
\(1+3+5+7+9=25\), и разбить эти цифры на две группы с одинаковой суммой цифр в каждой группе не получится.
Предположим, что нам удастся разбить их на две группы так, что в одной группе сумма цифр равна \(S\), а в другой \(S+11\). Тогда \(2S+11=25\) и \(S=7\). Но среди цифр \(1, 3, 5, 7\) и \(9\) невозможно найти такие, сумма которых равна \(7\).
Если сумма цифр в одной группе равна \(S\), а в другой \(S+22\), то \(2S+22=25\), нет натуральных решений.
Если сумма цифр в одной группе равна \(S\), а в другой \(S+11n\), где \(n\geq3\), натуральных решений также не получится.
Значит наибольшее «хорошее» число - \(9753\). В нем можно переставить цифры и получить число \(9537\), которое делится на \(11\).
Ответ: а) Да; б) Нет; в) \(9753\).
2. Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число \(3111\).
а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна \(17\).
б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна \(109\)?
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.
Решение:
а) Подбором можно получить примеры таких чисел.
1) \(1395\) и \(1412.\) Действительно, \(1395+17=1412\) и \(9=1+3+5,\) а \(4=1+1+2.\)
2) \(2512\) и \(2529.\) Действительно, \(2512+17=2529\) и \(5=2+1+2,\) а \(9=2+5+2.\)
\(1395\) и \(1412.\)
б) Пусть \(\overline{abcd}\) — интересное число, тогда одна из его цифр равна сумме остальных. Не ограничивая общности будем считать, что \(a=b+c+d,\) тогда \(a+b+c+d=2a,\) т. е. сумма цифр интересного числа может быть только чётной. Число с нечётной суммой цифр не будет интересным.
Предположим, что сумма интересного числа \(\overline{abcd}\) с числом \(109\) снова даёт интересное число. Выясним, какими могут цифры числа \(\overline{abcd},\) чтобы \(\overline{abcd}+109\) оставалось интересным.
1) Если \(d=1,\) то число единиц в сумме равно \(0\), а по условию такое число не является интересным, т. е. \(d\neq 1.\)
2) Если \(d>1,\) то при сложении с \(9\) число единиц в сумме уменьшится на \(1\), т. е. будет равно \(d-1,\) а число десятков увеличится на \(1\), т. е. будет \(c+1.\) Это число останется однозначным (цифрой), если \(c\le 8.\) Если же \(c=9,\) то цифра десятков в сумме будет \(0\), а значит, число не будет интересным.
Мы выяснили, что в получающейся сумме \(\overline{abcd}+109\) сумма цифр единиц и десятков не изменилась \(c+d=\left(c+1\right)+\left(d-1\right).\)
3) При добавлении \(109\) число десятков в сумме может измениться на \(1\), т. е. получим число вида \(\overline{a\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d-1\right)},\) сумма цифр которого равна \(a+\left(b+1\right)+\left(c+1\right)+\left(d-1\right)=a+b+c+d+1,\) она на \(1\) больше суммы цифр интересного числа, а значит, нечётна. Интересного числа не получилось.
4) Если же \(b=9\), то в сумме \(\overline{abcd}+109\) цифра сотен станет «\(0\)», и число опять не будет интересным.
Следовательно, не найдётся двух интересных чисел, разность между которыми равна \(109\).
Нет, не найдутся.
в) Первые простые числа — это \(2, 3, 5, 7, 11, 13. \dots \)
Из найденных ранее чисел \(1412\) делится на \(2\) (\(1412\vdots 2\)), \(1395\vdots 3\) и \(1395\vdots 5.\) Можно привести пример интересного числа, делящегося на \(7\): \(1449\).
Попробуем найти интересные числа, кратные \(11\).
Предположим, что интересное число \(A=\overline{abcd}\) делится на \(11\). По признаку делимости на \(11\) или \(a+c=b+d,\) или \(\left(a+c-b-d\right)\vdots 11,\) т. е. \(a+c-b-d=11\cdot n,\) где \(n\) — целое.
1) Если \(a+c=b+d\) и \(a=b+c+d,\) то \(b+c+d+c=b+d,\) откуда следует, что \(c=0,\) т. е. число \(A\) не является интересным. Аналогичный вывод получаем и в случаях \(c=a+b+d,\) \(b=a+c+d,\) \(d=a+b+c.\)
2) Если \(a+c> b+d\) и \(a+c=b+d+11,\) то для суммы цифр числа \(A\) получаем \(a+c+b+d=2b+2d+11\) — нечетное число, значит, \(A\) — неинтересное число.
3) Если \(a+c> b+d\) и \(a+c=b+d+11\cdot n,\) где натуральное число \(n\) больше \(1\), то левая часть как сумма цифр \(a+c\le 18,\) а правая часть \(b+d+11\cdot n\geq 2+22=24,\) и равенства быть не может.
Случай \(b+d> a+c\) рассматривается аналогично.
Следовательно, наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа, — это число \(11\).
а) \(1395\) и \(1412\). б) Нет, не найдутся. в) \(11\).
