Мы привыкли решать уравнения с одной переменной. А если переменных в одном уравнении целых две? А если 4? С такими ситуациями мы встречаемся, решая задачу 19 Профильного ЕГЭ по математике. И обычно нам помогает то, что эти переменные — целые.
Возьмем... нет, не реальную задачи 19. Возьмем такую, о которых пишут: «Она взорвала интернет».
А началось все с того, что один британский школьник лет 10-11 попросил маму помочь с домашним заданием. А мама не смогла. И папа тоже. И, уложив дите спать, родители отправились куда? — Правильно, в интернет! На форум для родителей. Но и там никто не смог решить задачу, только перессорились. И на других форумах тоже.
А вы справитесь с задачей, которая поставила в тупик столько взрослых людей?
1. На берегу стоят три маяка. Первый включается на три секунды, затем выключается на три секунды. Второй включается на четыре секунды и затем выключается на четыре секунды. Третий включается на пять секунд, затем выключается на пять секунд. Все три маяка начинают работать одновременно.
а) Через сколько минут после начала работы все три маяка снова одновременно включатся?
б) В какой момент времени все три маяка одновременно отключатся?
Решение:
По условию, все три маяка включаются одновременно. Маяк может либо светить, либо нет. Нарисуем графики их работы:
а) В какие моменты включаются первый и второй маяки? Первый маяк включается через 6 секунд после начала работы, через \(12\), через \(18, 24, 30\dots 6n\) секунд.
Второй маяк — через \(8\) секунд после начала работы, через \(16, 24, 32\dots\) — то есть через \(8m\) секунд.
Очевидно, что одновременное включение первого и второго маяков произойдет через \(24\) секунды после начала работы, поскольку \(24\) — это наименьшее общее кратное чисел \(6\) и \(8\) (то есть наименьшее число, которое делится на \(6\) и на \(8\)).
Третий маяк включается через \(10, 20, 30\dots 10k\) секунд после начала работы. Найдем наименьшее общее кратное чисел \(6\), \(8\) и \(10\), то есть наименьшее число, которое делится на \(6\), на \(8\) и на \(10\).
\(6n = 8m = 10k = T. \)
Поскольку \(6=2\cdot 3; \, 8=2^3; \, 10=2\cdot 5\), наименьшее общее кратное чисел \(6\), \(8\) и \(10\) должно делиться на \(2^3\), на \(3\) и на \(5\). Это число \(120\). Значит, через \(T = 120\) секунд после начала работы все три маяка включатся одновременно.
Можно сказать, что все три графика работы маяков — периодические функции, причем период для первого маяка равен \(6\), для второго \(8\), для третьего \(10\).
б) В какие же моменты одновременно отключаются все три маяка?
Первый маяк отключается через \(9, 15, 21... 3 + 6n\) секунд после начала работы.
Второй маяк — через \(12, 20, 28\dots 4+8m\) секунд после старта, а третий — через \(15, 25, 35\dots 5+ 10k\) секунд после старта. Если существует такой момент, что все три маяка отключаются одновременно, то должны выполняться условия:
\(\left\{\begin{matrix}
3+6n=4+8m, \\4+8m=5+10k.
\end{matrix}\right.\)
Эта система не имеет решений. В самом деле, величины \(6n, 8m\) и \(10k\) — четные. Тогда в первом уравнении в левой части — нечетная величина, а в правой — четная. Во втором уравнении левая часть четна, правая нечетная. Нет такого момента, когда все три маяка одновременно отключились!
Способы решения уравнений в целых числах
1 способ. Разложение на множители
Решите в целых числах уравнение: \(xy=x+y+3.\)
Решение:
Группируем и раскладываем на множители:
\(xy-x-y=3\) (все слагаемые, содержащие \(x\) и \(y\), собрали в левой части уравнения).
Прибавим \(1\) к левой и правой части:
\(xy-x-y+1=4;\)
\(x(y-1)-(y-1)=4;\)
\((x-1)(y-1)=4.\)
Так как \(x\) и \(y\) целые, \(x-1\) и \(y-1\) тоже целые.
Возможные случаи:
| \(x-1\) | \(y-1\) |
| \(1\) | \(4\) |
| \(4\) | \(1\) |
| \(-1\) | \(-4\) |
| \(-4\) | \(-1\) |
| \(2\) | \(2\) |
| \(-2\) | \(-2\) |
Получим пары чисел \((x; y)\):
\((2; 5), \; (5; 2), \; (0; -3), \; (-3; 0), \; (3; 3), \; (-1; -1)\). Это ответ.
2 способ. Выделение целой части.
Возьмем то же самое уравнение:
\(xy=x+y+3.\)
Выразим x из уравнения:
\(xy-x=y+3;\)
\(x(y-1)=y+3;\)
\(x=\displaystyle \frac{y+3}{y-1};\)
\(x=\displaystyle \frac{y-1+4}{y-1}; \; x=1+\frac{4}{y-1}.\)
\(x\) - целое, значит, \(\displaystyle \frac{4}{y-1}\) - целое, \(4\vdots (y-1).\)
Получим, что \(y-1\) может быть равен \(4, \; 1, \; -4, \; -1, \; 2, \; -2\). Зная \(y\), найдем \(x\).
Ответ: \((2; 5), \; (5; 2), \; (0; -3), \; (-3; 0), \; (3; 3), \; (-1; -1).\)
Разберем две задачи из вариантов ЕГЭ на уравнения в целых числах. Одну из них решим первым способом, другую - вторым.
2. Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа \(A\) за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа \(B\) за несколько рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа \(B\) будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа \(A\). В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа \(B\) входит на \(7\) человек меньше, чем в автобус типа \(A\)?
Решение:
Составим таблицу для двух типов автобусов:
| Сколько автобусов | Сколько рейсов | Сколько человек в автобусе | |
| Тип \(A\) | \(2\) | \(n\) | \(m+7\) |
| Тип \(B\) | \(3\) | \(n-1\) | \(m\) |
По условию, количество школьников, которое надо перевезти, одно и то же. Оно равно:
\(3(n-1)m=2n(m+7).\)
Отсюда \(3mn-3m=2nm+14n;\)
\(mn-3m-14n=0;\)
\(m(n-3)-14n=0.\)
Прибавим \(42\) к левой и правой части уравнения и разложим левую часть на множители:
\(m(n-3)-14n+42=42;\)
\(m(n-3)-14(n-3)=42;\)
\((m-14)(n-3)=42.\)
Числа \(m-14\) и \(n-3\) целые. Значит, \(42\) делится на \(n-3\) без остатка.
Выпишем делители числа \(42\). Это \(1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.\)
Заполним таблицу. Значение \(m\) вычисляем по формуле \(m=\displaystyle 14+\frac{42}{n-3}\), а общее количество школьников - как \(3(n-1)m.\)
| \(n-3\) | \(n\) | \(m\) | Общее количество школьников |
| \(1\) | \(4\) | \(56\) | \(504\) |
| \(2\) | \(5\) | \(35\) | \(420\) |
| \(3\) | \(6\) | \(28\) | \(420\) |
| \(6\) | \(9\) | \(21\) | \(504\) |
| \(7\) | \(10\) | \(20\) | \(540\) |
| \(14\) | \(17\) | \(17\) | \(816\) |
| \(21\) | \(24\) | \(16\) | \(1104\) |
| \(42\) | \(45\) | \(15\) | \(1980\) |
Наибольшее количество школьников, которое можно перевезти в условиях задачи, равно \(1980\).
3. Марина добиралась от дома до института на своем автомобиле с постоянной скорость \(100\) км/ч. Обратно она ехала с постоянной скоростью, которая измерялась целым числом километров в час, причем путь до дома занял у нее больше времени, чем путь до института.
а) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки составить \(90\) км/ч?
б) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки оказаться равной целому числу километров в час?
в) Какое наименьшее целое число километров в час могла составлять ее средняя скорость за эти две поездки? Запишите это значение в ответ.
Решение:
По условию:
\(v_{1}=100\) км/ч - скорость Марины по дороге в институт,
\(v_{2}=n\) км/ч - скорость Марины по дороге домой, причем \(v_{2}=n<100\), \(n\) целое.
Средняя скорость находится по формуле:
\(v_{средняя}=\displaystyle \frac{S_{общ}}{t_{общ}}=\frac{S_{1}+S_{2}}{\frac{S_{1}}{V_{1}}+\frac{S_{2}}{V_{2}}}.\)
а) Нет, не могла. Предположим, что
\(v_{ср}=\displaystyle \frac{2S}{\frac{S}{v_{1}}+\frac{S}{v_{2}}}=90;\)
\(\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{100}+\frac{1}{n}}=90;\)
\(\displaystyle \frac{1}{100}+\frac{1}{n}=\frac{1}{45};\)
\(\displaystyle \frac{1}{n}=\frac{1}{45}-\frac{1}{100}=\frac{1}{5}\left (\frac{1}{9}-\frac{1}{20}\right)=\frac{1}{5}\cdot \frac{11}{180};\)
\(n=\displaystyle \frac{900}{11}\) - не является целым. Получим противоречие с условием.
б) Пусть \(v_{ср}=m\) - целое число. Подставим \(m\) в формулу для средней скорости:
\(\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{100}+\frac{1}{n}}=m; \; \frac{1}{100}+\frac{1}{n}=\frac{2}{m}, \; n< 100.\)
Приведем дроби в левой части уравнения к одному знаменателю и выразим \(m\) через \(n\).
\(\displaystyle \frac{2}{m}-\frac{1}{n}=\frac{1}{100}; \; \frac{2n-m}{mn}=\frac{1}{100}; \; mn=200n-100m;\)
\(m(n+100)=200n; \; m=\displaystyle \frac{200n}{n+100}.\)
Подберем \(n\), при которой \(m\) - целое.
Если \(n=60, \; m=\displaystyle \frac{200\cdot 60}{160}=75.\) Да, средняя скорость могла быть целым числом.
в) Найдем наименьшее возможное \(m\).
\(m=\displaystyle \frac{200n}{n+100}.\)
Выведем целую часть в этой формуле. Это стандартный прием в решении задач на числа и их свойства. Сейчас переменная \(n\) - и в числителе, и в знаменателе. Выделение целой части поможет сделать так, чтобы переменная \(n\) осталась только в числителе, и тогда мы сможем оценить \(m\).
\(m=\displaystyle \frac{200n+20000-20000}{n+100}=200-\frac{20000}{n+100}.\)
По условию, \(m\) - целое. Значит, \(\displaystyle \frac{20000}{n+100}\) - целое и \(20000\) делится на \((n+100).\)
(Знак «\(\vdots\)» означает «делится без остатка»).
Получим: \(20000\vdots (n+100),\) где \(n< 100.\)
По основной теореме арифметики представим число \(20000\) как произведение простых множителе, взятых в натуральных степенях.
\(20000=2\cdot 10^{4}=2^{5}\cdot 5^{4}.\)
Чтобы \(20000\) делилось без остатка на \(n+ 100\), число \(n+100\) должно содержать в качестве множителей только двойки и пятерки, взятые в некоторых степенях.
\(n+100=2^{k}\cdot 5^{p},\) где \(k\leq 5, \; p\leq 4.\)
По условию, \(0< n< 100.\) Тогда \(100< n+100< 200.\) И теперь - перебор вариантов. Осмысленный перебор. Согласно определенному правилу.
1) Пусть \(p=0\). Тогда \(n+100=2^{k}\), есть число \(n+100\) является степенью двойки. Однако \(2^{5}=32\), а \(n+100> 100\), значит, \(p=0\) не подходит и число \(n+100\) должно делиться на \(5\).
2) Пусть \(p=1\). Тогда \(n+100=5\cdot 2^{k}\). Подходит только \(k=5\). При этом \(n+100=160, \; n=60.\)
3) \(p=2\). Тогда \(n+100=25\cdot 2^{k}\), нет целых решений для \(0< n< 100.\)
4) \(p=3\). Тогда \(n+100=125\cdot 2^{k}\). Подходит только \(k=0\), при этом \(n=25.\)
5) \(p=4\). Тогда \(n+100=625\cdot 2^{k}\), но при этом \(n+100> 200\) - не подходит.
Остаются два варианта.
Первый: \(n=60\), и при этом \(m=75\).
Второй: \(n=25\), \(m=40\).
Наименьшее возможное \(m\) равно \(40\).
Ответ: \(40\).
