Анна Малкова
Задача №19 Профильного ЕГЭ по математике. Странная. Ни на что не похожая. В ней нет ни синусов, ни логарифмов, ни производных… но попробуй реши!
Мы разберем реальные задачи Профильного ЕГЭ на числа и их свойсnва. Но не сразу. Сначала – подготовительные задачи. Они помогут понять основные принципы решения таинственной 19-й задачи.
1. Встретились как-то раз два математика. Когда-то они вместе учились в школе, много лет друг друга не видели, и им было о чем поговорить.
Один сказал, что у него трое сыновей. И что произведение возрастов этих детей равно \(36\).
Второй спросил: «А чему равна сумма их возрастов?»
– А сумма возрастов, - сказал первый, - такая же, как и номер автобуса, который только что проехал мимо.
- Не хватает данных, - ответил второй.
- Хорошо, - согласился первый. – Старший сын рыжий.
Второй назвал возраст детей.
Как он это сделал?
Решение:
Будем считать, что возрасты сыновей математика – целые положительные (то есть натуральные) числа. Произведение трех натуральных чисел равно \(36\). Запишем возможные варианты, а также сумму возрастов детей в каждом случае.
| Возрасты детей | Сумма возрастов | ||
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 36 | 38 |
| 1 | 2 | 18 | 21 |
| 1 | 3 | 12 | 16 |
| 1 | 4 | 9 | 14 |
| 1 | 6 | 6 | 13 |
| 2 | 2 | 9 | 13 |
| 2 | 3 | 6 | 11 |
| 3 | 3 | 4 | 10 |
Если бы номер проехавшего автобуса был равен \(21\), или \(10\), или \(11\), возрасты детей определялись бы однозначно. Но второй математик сказал, что ему не хватает данных. Значит, номер автобуса равен \(13\). Возможны варианты: \(1\), \(6\) и \(6\) лет или \(2\), \(2\) и \(9\) лет. Фраза «Старший сын рыжий» подразумевает, что среди мальчиков есть старший. В случае, когда возрасты детей равны \(1\), \(6\) и \(6\) лет, старших двое, и этот вариант не подходит. Значит, старшему \(9\) лет, а младшим по \(2\) года.
В задаче 19 Профильного ЕГЭ по математике тоже используется перебор вариантов. Но не хаотичный, а умный, то есть перебор вариантов по определенному правилу.
Интересно, что в Базовом ЕГЭ по математике тоже есть задание на числа и их свойства. И тоже под номером 19. Их вполне можно считать подготовительными.
Обратите внимание, что даже решая их подбором – мы не перебираем все числа подряд, а следуем определенному правилу.
2. Вычеркните в числе \(24715905\) три цифры так, чтобы получившееся число делилось на \(30\). В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.
Решение:
Чтобы число делилось на \(30\), оно должно делиться на \(3\) и на \(10\). Вычеркнем на конце исходного числа цифру \(5\). Получившееся число \(2471590\) делится на \(10\). Сумма его цифр равна \(28\). Вычеркнем цифру \(7\). Теперь сумма цифр равна \(21\), число \(241590\) делится на \(3\). Вычеркнем \(9\) – третью цифру. Число \(24150\) делится на \(30\), поскольку делится на \(3\) и на \(10\).
Ответ: \(24150\). Возможны и другие ответы.
3. Найдите четырехзначное число, кратное \(66\), все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое-нибудь такое число.
Решение:
Если число кратно \(66\), то оно делится на \(2\), на \(3\) и на \(11\). Значит, оно четно, сумма его цифр делится на \(3\). Кроме того, выполняется признак деления на \(11\):
Число делится на \(11\) тогда и только тогда, когда суммы цифр на четных и нечетных позициях числа \(a\) равны или их разность кратна \(11\).
Четные цифры: \(2, 4, 6, 8, 0.\)
Число \(2640\) четно, сумма цифр делится на \(3\), \(2 + 4 = 6 + 0\).
Ответ: \(2640.\)
4. Найдите четырёхзначное число, большее \(2000\), но меньшее \(4000\), которое делится на \(18\) и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение:
Число делится на \(18\), если оно четно и сумма его цифр делится на \(9\).
Первая цифра нашего числа – либо \(2\), либо \(3\). Последняя \(6\) или \(8\) (четная).
Случай, когда первая цифра равна \(2\), а последняя цифра равна \(6\), не подходит: числа \(2346\) и \(2456\) не делятся на \(9\). Число \(3456\) – четно и делится на \(9\).
Ответ: \(3456\).
5. Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего \(600\), которое при делении на \(4\), на \(5\) и на \(6\) даёт в остатке \(3\) и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число.
Решение:
Обозначим наше число \(A\). Поскольку число \(A\) при делении на \(4\), на \(5\) и на \(6\) даёт в остатке \(3\), число \(B = A – 3\) делится на \(4\), на \(5\) и на \(6\). Значит, \(B\) делится на их наименьшее общее кратное, то есть на \(60\).
Поскольку \(A\geq 601, \; B\geq 588\). Возможные значения для \(B\):
\(600, 660, 720, 780, 840, 900, 960.\)
Возьмем число \(963\). При делении на \(4\), на \(5\) и на \(6\) оно дает в остатке \(3\), и его цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. Они даже образуют убывающую арифметическую прогрессию!
Ответ: \(963.\)
6. Найдите натуральное число, большее \(1340\), но меньшее \(1640\), которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение:
Обозначим наше число \(A\). Поскольку \(1341\leq A\leq 1639\), первая цифра этого числа равна \(1\).
Возьмем число \(1395\). Оно делится на \(1\), на \(3\), на \(9\) и на \(5\). Просто подбор.
Ответ: \(1395.\)
