Задача на числа и их свойства - самая необычная в вариантах Профильного ЕГЭ по математике. Для ее решения необходимо знать специальные приемы, которые мы покажем на следующих страницах этого раздела.
А теории здесь совем немного. Делимость чисел, наибольший общий делитель и наибольшее общее кратное, основная теоремма арифметики, признаки делимости на \(3\), на \(4\), на \(5\), на \(8, 9, 10\) и \(11\).
Повторим, что же нужно знать для решения нестандартных задач ЕГЭ.
Натуральные числа — это числа \(1, 2, 3, ...\) – то есть те, что мы используем для счёта предметов. Ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается \(N\).
Покажем, как эта теория применяется в задачах на числа и их свойства.
Два брата продали стадо овец, выручив за каждую овцу столько рублей, сколько было в стаде овец. Решив разделить выручку поровну, они поступили следующим образом: каждый брат, начиная со старшего, брал из общей суммы по \(10\) рублей. После того, как в очередной раз старший брат взял \(10\) рублей, остаток от выручки оказался меньше \(10\) рублей. Желая его компенсировать, старший брат отдал младшему свой нож. Во сколько рублей был оценен этот нож? (Все суммы денег – целое количество рублей).
Решение:
Пусть в стаде \(n\) овец, и за каждую выручили \(n\) рублей.
Теперь у братьев есть \(n^{2}\) рублей.
Пусть из кучки в \(n^{2}\) рублей братья \(k\) раз берут по \(10\) рублей. Старший, потом младший, опять старший, и опять младший… И вот старший брат взял десятку, и осталось
\(y\) рублей. Теперь младший брат слегка обиженно смотрит на старшего, и старший отдает ему свой нож. Представили?
Пусть нож оценен в \(x\) рублей.
Получим:
\(\left\{\begin{matrix}
n^{2}=10k+y, \\ 1\leq y\leq 9,
\\ x+y=10-x.
\end{matrix}\right.\)
Первое уравнение вопросов не вызывает, правда? Со вторым – неравенством – тоже все понятно. Остаток от деления на \(10\) ненулевой и меньше \(10\), и мы записали эти условия в виде нестрогого неравенства. А вот третье уравнение...
Что же оно означает?
Каждый из братьев получил одинаковое количество десяток. И еще младший брат взял \(y\) рублей и нож, оцененный в \(x\) рублей (это левая часть уравнения). А старший брат взял на одну десятку больше, но зато лишился ножа – значит, он стал на \(x\) рублей беднее.
Получаем: \(2x=10-y\), то есть \(y=10-2x\).
Правая часть уравнения делится на \(2\). Значит, и левая его часть делится на \(2\), и тогда \(y\) – четное число.
Тогда из первого уравнения следует, что \(n^{2}\) – четная величина. Но если квадрат натурального числа является четной величиной, значит, и само число четно. И тогда
\(n^{2}\) делится на \(4\).
Поскольку \(y\) – четный остаток от деления на \(10\), то у может принимать значения: \(2, 4, 6, 8.\)
Тогда запись \(n^{2}=10k+y\) означает, что \(n^{2}\) оканчивается на \(2, 4, 6\) или \(8\). Теперь \(2\) и \(8\) можно отбросить, поскольку ни один квадрат целого числа ни на \(2\), ни на \(8\) не заканчивается. Остаются варианты \(y=4\) и \(y=6\). Что же из них является правильным ответом?
Вспомним еще одно условие: последним взял \(10\) рублей старший брат. Это значит, что \(k\), то есть количество десяток, – нечетно. Пусть \(k=2m+1\).
Если \(y=4\), то \(n^{2}=10\left ( 2m+1 \right )=20m+14\). Получим:
\(n^{2}-20m=14\).
Посмотрим внимательно на это уравнение в целых числах. Поскольку \(n^{2}\) делится на\(4\), \(20\) делится на \(4\), то левая часть уравнения делится на \(4\). Но правая его часть, равная \(14\), на \(4\) не делится! Значит, у него нет решений, и \(y=4\) не подходит.
Если \(y=6\), то \(n^{2}=10\left ( 2m+1 \right )+6=20m+16\), противоречий нет. В этом случае \(x=2.\)
Нестандартные задачи на ЕГЭ - это задачи на числа и их свойства. В вариантах ЕГЭ это задача № 19.
