Анна Малкова
В треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AM\) и \(CK, \; H\) – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), \(H=AM\cap CK\).
Запомните этот рисунок. Перед вами – схема, из которой можно получить сразу несколько полезных фактов.
1. Треугольники \(MBK\) и \(ABC\) подобны, причем коэффициент подобия \(k=cosB\), если \(\angle B< 90^{\circ}\), и \(k=\left| cosB\right|\), если \(\angle B > 90^{\circ}\).
2. Четырехугольник \(AKMC\) можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
3. Четырехугольник \(BKMH\) также можно вписать в окружность.
4. Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников \(ABC, \; AHC, \; BHC, \; ABH\), равны.
5. \(BH=2R\left | cosB \right |\), где \(R\) – радиус описанной окружности \(\triangle ABC\).
Докажем эти факты по порядку.
1) Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это \(ABM\) и \(CBK\), прямоугольные треугольники с общим углом \(B\), и они подобны по двум углам:
\(\triangle ABM \sim \triangle CBK\Rightarrow \displaystyle \frac{BM}{BK}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{BM}{AB}=\frac{BK}{BC}\).
Мы получили, что в треугольниках \(MBK\) и \(ABC\) стороны, прилежащие к углу \(B\), пропорциональны.
Получаем, что \(\triangle MBK \sim \triangle ABC\) по углу и двум сторонам.
2) Докажем, что вокруг четырехугольника \(AKMC\) можно описать окружность. Для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов четырехугольника \(AKMC\) были равны \(180 ^{\circ}\).
Пусть \(\angle ACB= \angle BKM=\gamma\) (поскольку треугольники \(MBK\) и \(ABC\) подобны), тогда
\(\angle ACB= \angle BKM=\gamma\) – как смежный с углом \(BKM\).
Получили, что \(\angle AKM + \angle ACM=180 ^{\circ}\), и это значит, что четырехугольник \(AKMC\) можно вписать в окружность.
3) Рассмотрим четырехугольник \(KBMH\). Его противоположные углы \(BKH\) и \(BMH\) – прямые, их сумма равна
\(180 ^{\circ}\), и значит, четырехугольник \(KBMH\) можно вписать в окружность.
4) По теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника \(ABC, \; R_{\triangle ABC}=\displaystyle \frac{AC}{2sin \angle ABC}\).
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника \(AHC, \; R_{\triangle AHC}=\displaystyle \frac{AC}{2sin \angle AHC}\).
Мы помним, что \(sin\left ( 180 ^{\circ}-\alpha \right )=sin\alpha\). Значит, синусы углов \(ABC\) и \(AHC\) равны, и радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников \(ABC\) и \(AHC\) равны.
5) Докажем, что \(BH=2R\left | cosB \right |\), где \(R\) – радиус описанной окружности \(\triangle ABC\).
Поскольку четырехугольник \(KBMH\) можно вписать в окружность и углы \(BKH\) и \(BMH\) – прямые, отрезок \(BH\) является диаметром этой окружности.
Треугольник \(MBK\) также вписан в эту окружность, и по теореме синусов, \(BH=\displaystyle \frac{MK}{sin \angle ABC}\).
Диаметр окружности, описанной вокруг треугольника \(ABC\), равен \(\displaystyle \frac{AC}{sin \angle ABC}\).
Поскольку треугольники \(MBK\) и \(ABC\) подобны, отношение диаметров описанных вокруг них окружностей равно \(\left | cosB \right |\).
Получили, что \(BH=2R\left | cosB \right |\).
Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника»
2. В остроугольном треугольнике \(KMN\) проведены высоты \(KB\) и \(NA\).
а) Докажите, что угол \(ABK\) равен углу \(ANK\).
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(ABM\), если известно, что \(KN=8\sqrt{2}\) и \(\angle KMN=45{^\circ }\).
Решение:
а) Докажем, что \(\angle ABK=\angle ANK\).
\(\triangle MBK \sim \triangle MAN\) (по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон: \(\displaystyle \frac{MA}{MB}=\frac{MN}{MK}\).
Но это значит, что \(\triangle ABM\sim \triangle NKM\) (по углу и двум сторонам), причем \(k=\displaystyle \frac{MA}{MN}=cos\angle KMN\).
\(\angle MAB=\angle MNK, \; \angle BAK \) – смежный с углом \(\angle MAB\);
\(\angle BAK = 180 ^{\circ} - \angle MAB = 180 ^{\circ} - \angle BNK\);
\(\angle BAK+\angle BNK = 180 ^{\circ}\), четырехугольник \(ABNK\) можно вписать в окружность.
\(\angle ABK=\angle ANK\) (опираются на одну дугу).
б) Найдем \(R_{\triangle ABM}\), если \(KN=8\sqrt{2}\) и \(\angle KMN=45 ^{\circ}\).
\(\triangle ABM \sim \triangle NKM, \; k=cos \angle KMN=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\);
\(\displaystyle \frac{AB}{KN}=k,\: \: \: AB=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot KN=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 8\sqrt{2}=8\).
По теореме синусов, \(R_{\triangle ABM}=\displaystyle \frac{AB}{2sin \angle AMB}=\frac{8\cdot 2}{2\cdot \sqrt{2}}=4\sqrt{2}\).
