Анна Малкова
Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа \(d\):
\(a_{n+1}=a_n+d\), (\(n=1, 2, ...\))
Фиксированное число \(d\) называется разностью арифметической прогрессии.
Например, для прогрессии 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…
\(a_1=1\) – первый член, а разность \(d=3\), потому что каждый следующий член прогрессии больше предыдущего на 3.
Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\).
Найдем 25-й член арифметической прогрессии 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…
Конечно, можно выписать подряд 25 членов этой прогрессии. Но лучше применить формулу:
\( a_{25}=a_{1}+3\cdot (25-1)=1+3\cdot 24=1+72=73\).
Cумма первых членов арифметической прогрессии \(S_n=a_1+a_2+...+a_n\) вычисляется по формуле:
\(S_n=\displaystyle\frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n=\displaystyle \frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.\)
Найдем сумму 25 членов арифметической прогрессии 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…
\(S_{25}=\displaystyle \frac{(a_1+a_25)}{2}\cdot 25=\displaystyle \frac{(1+73)}{2}\cdot 25=925.\)
Можно было посчитать сумму и по второй формуле:
\(S_{25}=\displaystyle \frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n=\frac{2+3\cdot(25-1)}{2}\cdot 25=925.\)
Основное свойство арифметической прогрессии:
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних: \(a_n=\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\).
Разберем задачи по теме «Арифметическая прогрессия».
1. В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?
Решение:
Количество мест в ряду увеличивается по закону арифметической прогрессии, в которой первый член \(a_1=24\), а разность \(d=2\).
Найдем восьмой член этой прогрессии по формуле \(a_n=a_1+(n-1)d.\)
\(a_8=a_1+(8-1)\cdot d=24+7\cdot 2=38\).
Ответ: 38.
2. Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 9 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?
Решение:
За каждую следующую секунду камень пролетает на 10 метров больше, чем в предыдущую. В первую 9 метров, во вторую 19, в третью 29, в четвертую 39… Это арифметическая прогрессия. Расстояние, которое камень пролетит за первые 5 секунд, равно сумме 5 первых членов этой арифметической прогрессии. Найдем его по формуле:
\(S_n=\displaystyle \frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n;\)
\(S_5=\displaystyle \frac{2a_1+d(5-1)}{2}\cdot 5=\frac{2\cdot 9+10\cdot (5-1)}{2\cdot 5}=145\) м.
Ответ: 145.
3. Максим решил накопить на айфон последней модели и 1 марта положил в копилку 10 рублей. С этого дня Максим ежедневно опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день. Сколько рублей будет в копилке 31 мая, после того как Максим, как обычно, положит туда деньги?
По условию, 1 марта в копилке у Максима 10 рублей.
2 марта Максим опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день, то есть 20 рублей.
3 марта он добавляет еще 30 рублей,
4 марта 40 рублей,
5 марта 50 рублей.
Мы имеем дело с арифметической прогрессией.
В нашей прогрессии \(a_1=10, d=10.\) В марте 31 день, в апреле 30, в мае 31 день. Значит, \(n=31+30+31=92.\)
31 мая Максим положит в копилку \(a_{92}=a_1+(92-1)d=10+910=920\) рублей.
Всего в копилке в этот день будет \(S_{92}=\displaystyle \frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot 92=\frac{(10+920)}{2}\cdot 92=42780\) рублей.
Видите, как удобно пользоваться формулами для вычисления n-ного члена и суммы арифметической прогрессии. Намного проще, чем складывать 92 слагаемых.
4. При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6 °C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -7 °C.
Решение:
Каждую минуту температура вещества на 6 градусов меньше, чем в предыдущую. Значения температуры составляют убывающую арифметическую прогрессию с разностью, разность которой равна −6.
В этой прогрессии \(a_1 =-7^{\circ}\) С, это первый член прогрессии. Значение через минуту – это \(a_2\), через 2 минуты получим \(a_3\)… через 4 минуты получим \(a_5\).
По формуле \(n\)-го члена арифметической прогрессии, \(a_n=a_1+(n-1)d.\)
\(a_5=a_1+(5-1)d=-7-6\cdot (5-1)=-31\) градус Цельсия.
Ответ: -31.
5. Дана арифметическая прогрессия: −75; −40; −5; ... Найдите её девятый член.
Решение:
По условию, \(a_1=-75.\)
Найдем разность прогрессии:
\(d=a_2-a_1=-40-(-75)=35\) или \(d=a_3-a_2=-5-(-40)=35.\)
По формуле \(n\)-го члена прогрессии получим:
\(a_9=a_1+(9-1)d;\)
\(a_9=-75+8\cdot 35=205.\)
Ответ: 205.
6. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8…
Решение:
По условию, \(a_1=11,2\); \(a_2=10,8\).
Разность прогрессии \(d=a_2-a_1=10,8-11,2=-0,4\).
Это убывающая арифметическая прогрессия. Ее члены вначале положительны, а начиная с некоторого номера, отрицательны. Возможно, какой-то из членов прогрессии равен нулю.
Найдём последний положительный член арифметической прогрессии и его номер. По формуле \(n\)-го члена,
\(a_n=a_1+(n-1)d=11,2+(n-1)\cdot (-0,4)=11,6-0,4n\).
Т.к. \(a_n>0\), то решим неравенство \(11,6-0,4n>0\).
Получим: \(n<29\), а значит, \(n=28\).
Тогда \(a_28=11,6-0,4n=11,6-0,4\cdot 28=0,4\).
Осталось вычислить сумму. Используем формулу суммы арифметической прогрессии.
\(S_28=\displaystyle \frac{a_1+a_28}{2}\cdot 28=\frac{11,2+0,4}{2}\cdot 28=11,6\cdot 14=162,4\).
Ответ: 162,4.
7. (Задача ЕГЭ) Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.
Пусть улитка проползла в первый день \(a_1\) метров, в последний – \(a_n\) метров, причем \(a_1+a_n=10\). Тогда за \(n\) дней она преодолела \(S_n=\displaystyle \frac{(a_1+a_n)n}{2}=150\) метров. Отсюда \(n=30.\)
Ответ: 30.
8. (Задача ЕГЭ) Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней
Это обычная задача на арифметическую прогрессию. В первый день Вася решил \(a_1=5\) задач, в последний \(a_{14}\) задач. Запишем формулу для суммы арифметической прогрессии: \(S_{14}=\displaystyle \frac{(a_1+a_{14})14}{2}=434\). Отсюда \(a_{14}=57.\)
9. (Задача ЕГЭ) Бригада маляров красит забор длиной 150 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 75 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
В первый день бригада покрасила \(a_1\) метров забора, во второй \(a_2\) метров, в последний \(a_n\) метров.
По формуле суммы арифметической прогрессии: \(S_{n}=\displaystyle \frac{(a_1+a_{n})n}{2}=150\). По условию, \(a_1+a_n=75\). Отсюда \(n = 4\).
10. (Задача ОГЭ) Дана арифметическая прогрессия: -4; -2; 0… Найдите сумму первых десяти её членов.
Найдем \(d\) – разность арифметической прогрессии.
\(d= a_2-a_1=(-2)-(-4)=2.\)
Найдем сумму первых 10 членов прогрессии по формуле: \(S_n=\displaystyle \frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.\)
У нас \(n = 10\).
\(S_{10}=\displaystyle \frac{2a_1+(10-1)d}{2}\cdot 10=\frac{-8+9\cdot 2}{2}\cdot 10=50.\)
11. Студент Василий задумал стать репетитором. Он рассчитал, что будет проводить ровно 4 занятия в месяц с каждым учеником и стоимость каждого занятия составит 1000 рублей.
а) Если в первый месяц у Василия 2 ученика и каждый месяц число учеников увеличивается на 1, то сколько заработает Василий за 12-й месяц работы?
б) Сколько всего заработает Василий за год (то есть за 12 месяцев работы)?
Решение:
В первый месяц у Василия два ученика. Во второй – три ученика, в третий – четыре, в каждый следующий – на одного ученика больше.
Число учеников Василия образует арифметическую прогрессию, где \(a_1=2\) – первый член прогрессии, \(d = 1\) – разность прогрессии.
По формуле \(n\)-ного члена арифметической прогрессии, \(a_n=a_1+(n-1)d.\)
Получим: \(a_{12}=2+(12-1)\cdot 1=2+11=13.\)
а) Работая 12-й месяц, Василий обучает 13 учеников. Проводя с каждым 4 занятия по 1000 рублей в месяц, Василий заработает за 12-й месяц \(13\cdot 4=52\) тысячи рублей.
б) Сколько всего заработает Василий за год?
Суммы, которые Василий зарабатывает ежемесячно, также образуют арифметическую прогрессию, в которой \(n=12, c_1 =8 \) тысяч рублей, а \(c_{12} =52\) тысячи рублей.
По формуле суммы арифметической прогрессии, \(S_n=\displaystyle \frac{(c_1+c_n)}{2}\cdot n\). \(S_{12}=\displaystyle \frac{\left(8+52\right)}{2}\cdot 12=360\) тысяч рублей.
12. Проработав год репетитором, студент Василий обнаружил, что вместе с количеством учеников растут и его расходы на транспорт. В первый месяц Василий потратил на поездки к ученикам 800 рублей и каждый следующий месяц эта сумма увеличивалась на 300 рублей. Сколько денег потратил Василий на поездки к ученикам за весь год?
Решение:
По условию, суммы денег, которые Василий тратит на поездки к ученикам, образуют арифметическую прогрессию, в которой \(a_1=800\) и \( d=300\).
По формуле суммы арифметической прогрессии, \(S_n=\displaystyle \frac{{2a}_1+\left(n-1\right)d}{2}\cdot n\).
Получим: \(S_{12}=\displaystyle \frac{1600+\left(12-1\right)\cdot 300}{2}\cdot 12=29400\) рублей.
13. Ученица Маша хочет сдать тест не менее чем на 88 баллов. Студент Василий заметил, что каждый месяц результат Маши увеличивается на 7 баллов. За сколько месяцев занятий Маша достигнет результата, если ее результат до начала занятий составлял 43 балла?
Решение:
После первого месяца занятий результат Маши улучшается на 7 баллов и составляет \(43 + 7 = 50\) баллов. Еще через месяц \(50 + 7 = 57\) баллов.
Мы имеем дело с арифметической прогрессией, в которой \(a_1=43,d=7.\)
Пусть результат не ниже 88 баллов достигнут через \(n\) месяцев.
Получим: \(a_n=a_1+(n-1)d=43+7\cdot (n-1)\geq 88.\) \(43+7\cdot (n-1)\geq 88\) \(n-1\geq \displaystyle \frac{45}{7}\) \(n\geq \frac{52}{7}\).
Так как \(n\)– целое, \(n\geq 8.\)
Осталось ответить на вопрос задачи.
Результаты теста Маши составляют арифметическую прогрессию, в которой \(a_1=43, a_2=50... a_8=a_1+(n-1)d=43+(8-1)\cdot 7=92.\)
Значит, через 1 месяц занятий результат Маши увеличится до 50, через два – до 57, а через семь – до 92.
Семь месяцев занятий нужно Маше, чтобы достичь результата.
