Что такое числовая последовательность?
Друзья, мы начинаем изучать арифметическую и геометрическую прогрессии.
Прогрессии – это примеры числовых последовательностей. А что же такое последовательность?
Запишем через точку с запятой несколько чисел:
5; 11; 3; 9; 97; 2, 3.
Можно сказать, что мы задали числовую последовательность, в которой 7 членов. На первом месте стоит число 5, на втором число 11, на третьем 3…
Каждое из этих чисел – под определенным номером, от первого до седьмого.
Записать это можно так:
\(a_1 = 5\); \(a_2 = 11\); \(a_3=3\), \(a_4=9\)...
Мы задали числовую последовательность, в которой каждому номеру от 1 до 7 соответствует определенное число.
Числовая последовательность — это множество чисел, в котором каждому числу можно присвоить уникальный номер.
В нашем случае первый член последовательности равен 5, второй 11, третий 3…
Можно также сказать, что последовательность – это функция натурального аргумента. Аргумент – это номер: 1, 2, 3…
А значения этой функции – члены последовательности.
Представим себе гаджет, на экране которого раз в секунду возникает какое-нибудь число. Например, 8; -4; 0; 0,6; 8; 1; -11…
В первую секунду число 8, во вторую -4, в третью 0… Каждому номеру \(n\) ставится в соответствие \(a_n\), то есть \(n-\) ный член последовательности
Вот еще несколько примеров числовых последовательностей:
1) 1; \(\frac{1}{3}\); 1; 1; 1; 0; 0; \(\frac{1}{2}\); 1
2) 8; -1; 8; -1; 8; -1…
3) 3; 6; 9; 12
Последовательность может состоять не только из натуральных чисел. В примерах 1 и 2 членами последовательности являются и отрицательные, и дробные числа.
Во втором из этих примеров последовательность легко задать описанием. Члены последовательности с нечетными номерами равны 8, а те, которые с четными номерами, равны -1.
Последовательность может быть конечной или бесконечной. В примере 2 последовательность бесконечная (мы поняли это, потому что за последним из написанных чисел стоит многоточие).
А в третьем примере последовательность можно задать формулой и записать так:
\(a_n=3n\).
Так же, как мы задаем формулой функцию. Только здесь аргумент не \(x\), а натуральное число \(n\).
Чаще всего мы изучаем последовательности, заданные формулами.
1. Определите формулу для n-ного члена последовательности:
а) 1; 1; 1; 1; 1…
б) 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…
в) 2; 4; 8; 16; 32; 64…
Решение:
а)1; 1; 1; 1; 1…
Здесь все просто, \(a_n=1\) для всех \(n\).
б)1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…
Каждый следующий член последовательности, начиная со второго, на 3 больше, чем предыдущий. Такая последовательность называется арифметическая прогрессия.
В ней \(a_1=1\),
\(a_2 = a_1 + 3\),
\(a_3 = a_1 + 3\cdot2\),
\(a_4=a_1+3\cdot 3\)...
\(a_n=a_1+3\cdot(n-1)\).
в) 2; 4; 8; 16; 32; 64…
А в этой последовательности каждый член, начиная со второго, в 2 раза больше предыдущего. Такая последовательность называется геометрическая прогрессия.
В ней \(b_1 = 2\),
\(b_2=b_1 \cdot 2\),
\(b_3=b_1\cdot2^2\),
\(b_4=b_1\cdot2^3...\)
\(b_n=b_1\cdot2^{n-1}\).
В этой теме мы изучим арифметическую прогрессию, а в следующей – геометрическую.
Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа \(d\):
\(a_{n+1}=a_n+d\), (\(n=1, 2, ...\))
Фиксированное число \(d\) называется разностью арифметической прогрессии.
Например, для прогрессии 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…
\(a_1=1\) – первый член, а разность \(d=3\), потому что каждый следующий член прогрессии больше предыдущего на 3.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\).
Найдем 25-й член арифметической прогрессии 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…
Конечно, можно выписать подряд 25 членов этой прогрессии. Но лучше применить формулу:
\( a_{25}=a_{1}+3\cdot (25-1)=1+3\cdot 24=1+72=73\).
Cумма первых членов арифметической прогрессии \(S_n=a_1+a_2+...+a_n\) вычисляется по формуле:
\(S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n\)
Найдем сумму 25 членов арифметической прогрессии 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…
\(S_{25}=\frac{(a_1+a_{25})}{2}\cdot 25=\frac{(1+73)}{2}\cdot 25=925\)
Можно было посчитать сумму и по второй формуле:
\(S_{25}=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n=\frac{2+3\cdot(25-1)}{2}\cdot 25=925\).
Основное свойство арифметической прогрессии:
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних: \(a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\).
Разберем задачи по теме «Арифметическая прогрессия».
1. В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?
Решение:
Количество мест в ряду увеличивается по закону арифметической прогрессии, в которой первый член \(a_1=24\), а разность \(d=2\).
Найдем восьмой член этой прогрессии по формуле \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_8=a_1+(8-1)\cdot d=24+7\cdot 2=38\).
Ответ: 38
2. Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 9 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?
Решение:
За каждую следующую секунду камень пролетает на 10 метров больше, чем в предыдущую. В первую 9 метров, во вторую 19, в третью 29, в четвертую 39… Это арифметическая прогрессия. Расстояние, которое камень пролетит за первые 5 секунд, равно сумме 5 первых членов этой арифметической прогрессии. Найдем его по формуле
\(S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n\),
\(S_5=\frac{2a_1+d(5-1)}{2}\cdot 5=\frac{2\cdot 9+10\cdot (5-1)}{2}\cdot 5=145\) м.
Ответ: 145
Следующая задача чуть более сложная (не из вариантов ОГЭ).
3. Максим решил накопить на айфон последней модели и 1 марта положил в копилку 10 рублей. С этого дня Максим ежедневно опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день. Сколько рублей будет в копилке 31 мая, после того как Максим, как обычно, положит туда деньги?
Решение:
По условию, 1 марта в копилке у Максима 10 рублей.
2 марта Максим опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день, то есть 20 рублей.
3 марта он добавляет еще 30 рублей,
4 марта 40 рублей,
5 марта 50 рублей.
Мы имеем дело с арифметической прогрессией.
В нашей прогрессии \(a_1=10\), \(d=10\). В марте 31 день, в апреле 30, в мае 31 день. Значит, \(n=31+30+31=92\).
31 мая Максим положит в копилку \(a_{92}=a_1+(92-1)d=10+910=920\) рублей.
Всего в копилке в этот день будет \(S_92=\frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot 92=\frac{(10+920)}{2}\cdot 92=42780\) рублей.
Видите, как удобно пользоваться формулами для вычисления n-го члена и суммы арифметической прогрессии. Намного проще, чем складывать 92 слагаемых.
4. При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6 °C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -7 °C.
Решение:
Каждую минуту температура вещества на 6 градусов меньше, чем в предыдущую. Значения температуры составляют убывающую арифметическую прогрессию с разностью, разность которой равна −6.
В этой прогрессии \(a_1 =-7^{\circ}\) С, это первый член прогрессии. Значение через минуту – это \(a_2\), через 2 минуты получим \(a_3\), через 4 минуты получим \(a_5\).
По формуле n-го члена арифметической прогрессии, \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_5=a_1+(5-1)d=-7-6\cdot (5-1)=-31\) градус Цельсия.
Ответ: -31
5. Дана арифметическая прогрессия: −75; −40; −5; ... Найдите её девятый член.
Решение:
По условию, \(a_1=-75\)
Найдем разность прогрессии:
\(d=a_2-a_1=-40-(-75)=35\) или \(d=a_3-a_2=-5-(-40)=35\).
По формуле n-го члена прогрессии получим:
\(a_9=a_1+(9-1)d\),
\(a_9=-75+8\cdot 35=205\).
Ответ: 205
6. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8…
Решение.
По условию, \(a_1=11,2\); \(a_2=10,8\).
Разность прогрессии \(d=a_2-a_1=10,8-11,2=-0,4\).
Это убывающая арифметическая прогрессия. Ее члены вначале положительны, а начиная с некоторого номера, отрицательны. Возможно, какой-то из членов прогрессии равен нулю.
Найдём последний положительный член арифметической прогрессии и его номер. По формуле n-го члена,
\(a_n=a_1+(n-1)d=11,2+(n-1)\cdot (-0,4)=11,6-0,4n\).
Т.к. \(a_n>0\), то решим неравенство \(11,6-0,4n>0\).
Получим: \(n<29\), а значит, \(n=28\). Тогда \(a_{28}=11,6-0,4n=11,6-0,4\cdot 28=0,4\). Осталось вычислить сумму. Используем формулу суммы арифметической прогрессии. \(S_{28}=\frac{a_1+a_28}{2}\cdot 28=\frac{11,2+0,4}{2}\cdot 28=11,6\cdot 14=162,4\). Ответ: 162,4. 7. Студент Василий задумал стать репетитором. Он рассчитал, что будет проводить ровно 4 занятия в месяц с каждым учеником и стоимость каждого занятия составит 1000 рублей. а) Если в первый месяц у Василия 2 ученика и каждый месяц число учеников увеличивается на 1, то сколько заработает Василий за 12-й месяц работы? б) Сколько всего заработает Василий за год (то есть за 12 месяцев работы)? Решение: В первый месяц у Василия два ученика. Во второй – три ученика, в третий – четыре, в каждый следующий – на одного ученика больше. Число учеников Василия образует арифметическую прогрессию, где \(a_1=2\) – первый член прогрессии, d = 1 – разность прогрессии. По формуле \(n\)-ного члена арифметической прогрессии, \(a_n=a_1+(n-1)d.\) Получим: \(a_{12}=2+(12-1)\cdot 1=2+11=13.\) а) Работая 12-й месяц, Василий обучает 13 учеников. Проводя с каждым 4 занятия по 1000 рублей в месяц, Василий заработает за 12-й месяц \(13\cdot 4=52\) тысячи рублей. б) Сколько всего заработает Василий за год? Суммы, которые Василий зарабатывает ежемесячно, также образуют арифметическую прогрессию, в которой \(n=12, c_1 =8 \) тысяч рублей, а \(c_{12} =52\) тысячи рублей. По формуле суммы арифметической прогрессии, \(S_n=\frac{(c_1+c_n)}{2}\cdot n\). \(S_{12}=\frac{\left(8+52\right)}{2}\cdot 12=360\) тысяч рублей. 8. Проработав год репетитором, студент Василий обнаружил, что вместе с количеством учеников растут и его расходы на транспорт. В первый месяц Василий потратил на поездки к ученикам 800 рублей и каждый следующий месяц эта сумма увеличивалась на 300 рублей. Сколько денег потратил Василий на поездки к ученикам за весь год? По условию, суммы денег, которые Василий тратит на поездки к ученикам, образуют арифметическую прогрессию, в которой \(a_1=800\) и \( d=300\). По формуле суммы арифметической прогрессии, \(S_n=\frac{{2a}_1+\left(n-1\right)d}{2}\cdot n\) Получим: \(S_{12}=\frac{1600+\left(12-1\right)\cdot 300}{2}\cdot 12=29400\) рублей. 9. Ученица Маша хочет сдать тест не менее чем на 88 баллов. Студент Василий заметил, что каждый месяц результат Маши увеличивается на 7 баллов. За сколько месяцев занятий Маша достигнет результата, если ее результат до начала занятий составлял 43 балла? После первого месяца занятий результат Маши улучшается на 7 баллов и составляет 43 + 7 = 50 баллов. Еще через месяц 50 + 7 = 57 баллов. Мы имеем дело с арифметической прогрессией, в которой \(a_1=43,d=7.\) Пусть результат не ниже 88 баллов достигнут через n месяцев. Получим: \(a_n=a_1+(n-1)d=43+7\cdot (n-1)\geq 88.\) \(43+7\cdot (n-1)\geq 88\) \(n-1\geq \frac{45}{7}\) \(n\geq \frac{52}{7}\) Так как n – целое, \(n\geq 8.\) Осталось ответить на вопрос задачи. Результаты теста Маши составляют арифметическую прогрессию, в которой \(a_1=43, a_2=50... a_8=a_1+(n-1)d=43+(8-1)\cdot 7=92.\) Значит, через 1 месяц занятий результат Маши увеличится до 50, через два – до 57, а через семь – до 92. Семь месяцев занятий нужно Маше, чтобы достичь результата.
