Арифметическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике

Что такое числовая последовательность?

Друзья, мы начинаем изучать арифметическую и геометрическую прогрессии.

Прогрессии – это примеры числовых последовательностей. А что же такое последовательность?

Запишем через точку с запятой несколько чисел:

5; 11; 3; 9; 97; 2, 3.

Можно сказать, что мы задали числовую последовательность, в которой 7 членов. На первом месте стоит число 5, на втором число 11, на третьем 3…

Каждое из этих чисел – под определенным номером, от первого до седьмого.

Записать это можно так:

$a_1 = 5$ ; $a_2 = 11$ ; $a_3=3$ , $a_4=9$ ...

Мы задали числовую последовательность, в которой каждому номеру от 1 до 7 соответствует определенное число.

Числовая последовательность — это множество чисел, в котором каждому числу можно присвоить уникальный номер.

В нашем случае первый член последовательности равен 5, второй 11, третий 3…

Можно также сказать, что последовательность – это функция натурального аргумента. Аргумент – это номер: 1, 2, 3…

А значения этой функции – члены последовательности.

Представим себе гаджет, на экране которого раз в секунду возникает какое-нибудь число. Например, 8; -4; 0; 0,6; 8; 1; -11…

В первую секунду число 8, во вторую -4, в третью 0… Каждому номеру $n$ ставится в соответствие $a_n$ , то есть $n-$ ный член последовательности

Вот еще несколько примеров числовых последовательностей:

1) 1; $\frac{1}{3}$ ; 1; 1; 1; 0; 0; $\frac{1}{2}$ ; 1

2) 8; -1; 8; -1; 8; -1…

3) 3; 6; 9; 12

Последовательность может состоять не только из натуральных чисел. В примерах 1 и 2 членами последовательности являются и отрицательные, и дробные числа.

Во втором из этих примеров последовательность легко задать описанием. Члены последовательности с нечетными номерами равны 8, а те, которые с четными номерами, равны -1.

Последовательность может быть конечной или бесконечной. В примере 2 последовательность бесконечная (мы поняли это, потому что за последним из написанных чисел стоит многоточие).

А в третьем примере последовательность можно задать формулой и записать так:

$a_n=3n$ .

Так же, как мы задаем формулой функцию. Только здесь аргумент не $x$ , а натуральное число $n$ .

Чаще всего мы изучаем последовательности, заданные формулами.

1. Определите формулу для n-ного члена последовательности:

а) 1; 1; 1; 1; 1…

б) 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…

в) 2; 4; 8; 16; 32; 64…

Решение:

а)1; 1; 1; 1; 1…

Здесь все просто, $a_n=1$ для всех $n$ .

б)1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…

Каждый следующий член последовательности, начиная со второго, на 3 больше, чем предыдущий. Такая последовательность называется арифметическая прогрессия.

В ней $a_1=1$ ,

$a_2 = a_1 + 3$ ,

$a_3 = a_1 + 3\cdot2$ ,

$a_4=a_1+3\cdot 3$ ...

$a_n=a_1+3\cdot(n-1)$ .

в) 2; 4; 8; 16; 32; 64…

А в этой последовательности каждый член, начиная со второго, в 2 раза больше предыдущего. Такая последовательность называется геометрическая прогрессия.

В ней $b_1 = 2$ ,

$b_2=b_1 \cdot 2$ ,

$b_3=b_1\cdot2^2$ ,

$b_4=b_1\cdot2^3...$

$b_n=b_1\cdot2^{n-1}$ .

В этой теме мы изучим арифметическую прогрессию, а в следующей – геометрическую.

Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа $d$ :

$a_{n+1}=a_n+d$ , ( $n=1, 2, ...$ )

Фиксированное число $d$ называется разностью арифметической прогрессии.

Например, для прогрессии 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…

$a_1=1$ – первый член, а разность $d=3$ , потому что каждый следующий член прогрессии больше предыдущего на 3.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n=a_1+(n-1)d$ .

Найдем 25-й член арифметической прогрессии 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…

Конечно, можно выписать подряд 25 членов этой прогрессии. Но лучше применить формулу:

$a_{25}=a_{1}+3\cdot (25-1)=1+3\cdot 24=1+72=73$ .

Cумма первых членов арифметической прогрессии $S_n=a_1+a_2+...+a_n$ вычисляется по формуле:

$S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

Найдем сумму 25 членов арифметической прогрессии 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…

$S_{25}=\frac{(a_1+a_25)}{2}\cdot 25=\frac{(1+73)}{2}\cdot 25=925$

Можно было посчитать сумму и по второй формуле:

$S_{25}=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n=\frac{2+3\cdot(25-1)}{2}\cdot 25=925$ .

Основное свойство арифметической прогрессии:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ .

Разберем задачи по теме «Арифметическая прогрессия».

1. В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?

Решение:

Количество мест в ряду увеличивается по закону арифметической прогрессии, в которой первый член $a_1=24$ , а разность $d=2$ .

Найдем восьмой член этой прогрессии по формуле $a_n=a_1+(n-1)d$ .

$a_8=a_1+(8-1)\cdot d=24+7\cdot 2=38$ .

Ответ: 38

2. Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 9 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Решение:

За каждую следующую секунду камень пролетает на 10 метров больше, чем в предыдущую. В первую 9 метров, во вторую 19, в третью 29, в четвертую 39… Это арифметическая прогрессия. Расстояние, которое камень пролетит за первые 5 секунд, равно сумме 5 первых членов этой арифметической прогрессии. Найдем его по формуле

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$ ,

$S_5=\frac{2a_1+d(5-1)}{2}\cdot 5=\frac{2\cdot 9+10\cdot (5-1)}{2\cdot 5}=145$ м.

Ответ: 145

Следующая задача чуть более сложная (не из вариантов ОГЭ).

3. Максим решил накопить на айфон последней модели и 1 марта положил в копилку 10 рублей. С этого дня Максим ежедневно опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день. Сколько рублей будет в копилке 31 мая, после того как Максим, как обычно, положит туда деньги?

Решение:

По условию, 1 марта в копилке у Максима 10 рублей.

2 марта Максим опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день, то есть 20 рублей.

3 марта он добавляет еще 30 рублей,

4 марта 40 рублей,

5 марта 50 рублей.

Мы имеем дело с арифметической прогрессией.

В нашей прогрессии $a_1=10$ , $d=10$ . В марте 31 день, в апреле 30, в мае 31 день. Значит, $n=31+30+31=92$ .

31 мая Максим положит в копилку $a_92=a_1+(92-1)d=10+910=920$ рублей.

Всего в копилке в этот день будет $S_92=\frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot 92=\frac{(10+920)}{2}\cdot 92=42780$ рублей.

Видите, как удобно пользоваться формулами для вычисления n-го члена и суммы арифметической прогрессии. Намного проще, чем складывать 92 слагаемых.

4. При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6 °C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -7 °C.

Решение:

Каждую минуту температура вещества на 6 градусов меньше, чем в предыдущую. Значения температуры составляют убывающую арифметическую прогрессию с разностью, разность которой равна −6.

В этой прогрессии $a_1 =-7^{\circ}$ С, это первый член прогрессии. Значение через минуту – это $a_2$ , через 2 минуты получим $a_3$ … через 4 минуты получим $a_5$ .

По формуле n-го члена арифметической прогрессии, $a_n=a_1+(n-1)d$ .

$a_5=a_1+(5-1)d=-7-6\cdot (5-1)=-31$ градус Цельсия.
Ответ: -31

5. Дана арифметическая прогрессия: −75; −40; −5; ... Найдите её девятый член.

Решение:

По условию, $a_1=-75$

Найдем разность прогрессии:

$d=a_2-a_1=-40-(-75)=35$ или $d=a_3-a_2=-5-(-40)=35$ .

По формуле n-го члена прогрессии получим:

$a_9=a_1+(9-1)d$ ,

$a_9=-75+8\cdot 35=205$ .

Ответ: 205

6. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8…

Решение.

По условию, $a_1=11,2$ ; $a_2=10,8$ .

Разность прогрессии $d=a_2-a_1=10,8-11,2=-0,4$ .

Это убывающая арифметическая прогрессия. Ее члены вначале положительны, а начиная с некоторого номера, отрицательны. Возможно, какой-то из членов прогрессии равен нулю.

Найдём последний положительный член арифметической прогрессии и его номер. По формуле n-го члена,

$a_n=a_1+(n-1)d=11,2+(n-1)\cdot (-0,4)=11,6-0,4n$ .

Т.к. $a_n>0$ , то решим неравенство $11,6-0,4n>0$ .

Получим: $n<29$ , а значит, $n=28$ .

Тогда $a_28=11,6-0,4n=11,6-0,4\cdot 28=0,4$ .

Осталось вычислить сумму. Используем формулу суммы арифметической прогрессии.

$S_28=\frac{a_1+a_28}{2}\cdot 28=\frac{11,2+0,4}{2}\cdot 28=11,6\cdot 14=162,4$ .

Ответ: 162,4

7. Студент Василий задумал стать репетитором. Он рассчитал, что будет проводить ровно 4 занятия в месяц с каждым учеником и стоимость каждого занятия составит 1000 рублей.

а) Если в первый месяц у Василия 2 ученика и каждый месяц число учеников увеличивается на 1, то сколько заработает Василий за 12-й месяц работы?

б) Сколько всего заработает Василий за год (то есть за 12 месяцев работы)?

Решение:

В первый месяц у Василия два ученика. Во второй – три ученика, в третий – четыре, в каждый следующий – на одного ученика больше. Число учеников Василия образует арифметическую прогрессию, где $a_1=2$ – первый член прогрессии, d = 1 – разность прогрессии.

По формуле $n$ -ного члена арифметической прогрессии, $a_n=a_1+(n-1)d.$

Получим:

$a_{12}=2+(12-1)\cdot 1=2+11=13.$

а) Работая 12-й месяц, Василий обучает 13 учеников.

Проводя с каждым 4 занятия по 1000 рублей в месяц, Василий заработает за 12-й месяц $13\cdot 4=52$ тысячи рублей.

б) Сколько всего заработает Василий за год? Суммы, которые Василий зарабатывает ежемесячно, также образуют арифметическую прогрессию, в которой $n=12, c_1 =8$ тысяч рублей, а $c_{12} =52$ тысячи рублей.

По формуле суммы арифметической прогрессии, $S_n=\frac{(c_1+c_n)}{2}\cdot n$ .

$S_{12}=\frac{\left(8+52\right)}{2}\cdot 12=360$ тысяч рублей.

8. Проработав год репетитором, студент Василий обнаружил, что вместе с количеством учеников растут и его расходы на транспорт. В первый месяц Василий потратил на поездки к ученикам 800 рублей и каждый следующий месяц эта сумма увеличивалась на 300 рублей.

Сколько денег потратил Василий на поездки к ученикам за весь год?

По условию, суммы денег, которые Василий тратит на поездки к ученикам, образуют арифметическую прогрессию, в которой $a_1=800$ и $d=300$ .

По формуле суммы арифметической прогрессии, $S_n=\frac{{2a}_1+\left(n-1\right)d}{2}\cdot n$

Получим: $S_{12}=\frac{1600+\left(12-1\right)\cdot 300}{2}\cdot 12=29400$ рублей.

9. Ученица Маша хочет сдать тест не менее чем на 88 баллов. Студент Василий заметил, что каждый месяц результат Маши увеличивается на 7 баллов. За сколько месяцев занятий Маша достигнет результата, если ее результат до начала занятий составлял 43 балла?

После первого месяца занятий результат Маши улучшается на 7 баллов и составляет 43 + 7 = 50 баллов. Еще через месяц 50 + 7 = 57 баллов.

Мы имеем дело с арифметической прогрессией, в которой $a_1=43,d=7.$

Пусть результат не ниже 88 баллов достигнут через n месяцев. Получим:

$a_n=a_1+(n-1)d=43+7\cdot (n-1)\geq 88.$

$43+7\cdot (n-1)\geq 88$

$n-1\geq \frac{45}{7}$

$n\geq \frac{52}{7}$

Так как n – целое, $n\geq 8.$ Осталось ответить на вопрос задачи.

Результаты теста Маши составляют арифметическую прогрессию, в которой $a_1=43, a_2=50... a_8=a_1+(n-1)d=43+(8-1)\cdot 7=92.$

Значит, через 1 месяц занятий результат Маши увеличится до 50, через два – до 57, а через семь – до 92.

Семь месяцев занятий нужно Маше, чтобы достичь результата.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Арифметическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 05.09.2023

Арифметическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике

Это полезно