Арифметическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике

Анна Малкова

Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d:

$a_{n+1}= a_n+d, \, \, (n = 1,2,...).$

Фиксированное число d называется разностью арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+(n-1)d.$

Сумма первых n членов арифметической прогрессии $S_n=a_1+a_2+...+a_n$

вычисляется по формуле:

$S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}.$

1. Студент Василий задумал стать репетитором. Он рассчитал, что будет проводить ровно 4 занятия в месяц с каждым учеником и стоимость каждого занятия составит 1000 рублей.

а) Если в первый месяц у Василия 2 ученика и каждый месяц число учеников увеличивается на 1, то сколько заработает Василий за 12-й месяц работы?

б) Сколько всего заработает Василий за год (то есть за 12 месяцев работы)?

В первый месяц у Василия два ученика. Во второй – три ученика, в третий – четыре, в каждый следующий – на одного ученика больше. Число учеников Василия образует арифметическую прогрессию, где $a_1=2$ – первый член прогрессии, d = 1 – разность прогрессии.

По формуле n-ного члена арифметической прогрессии, $a_n=a_1+(n-1)d.$

Получим:

$a_{12}=2+(12-1)\cdot 1=2+11=13.$

а) Работая 12-й месяц, Василий обучает 13 учеников.

Проводя с каждым 4 занятия по 1000 рублей в месяц, Василий заработает за 12-й месяц $13\cdot 4=52$ тысячи рублей.

б) Сколько всего заработает Василий за год? Суммы, которые Василий зарабатывает ежемесячно, также образуют арифметическую прогрессию, в которой $n=12, c_1 =8$ тысяч рублей, а $c_{12} =52$ тысячи рублей.

По формуле суммы арифметической прогрессии, $S_n=\frac{(c_1+c_n)}{2}\cdot n$ .

$S_{12}=\frac{\left(8+52\right)}{2}\cdot 12=360$ тысяч рублей.

2. Проработав год репетитором, студент Василий обнаружил, что вместе с количеством учеников растут и его расходы на транспорт. В первый месяц Василий потратил на поездки к ученикам 800 рублей и каждый следующий месяц эта сумма увеличивалась на 300 рублей

Сколько денег потратил Василий на поездки к ученикам за весь год?

По условию, суммы денег, которые Василий тратит на поездки к ученикам, образуют арифметическую прогрессию, в которой $a_1=800$ и $d=300$ .

По формуле суммы арифметической прогрессии, $S_n=\frac{{2a}_1+\left(n-1\right)d}{2}\cdot n$

Получим: $S_{12}=\frac{1600+\left(12-1\right)\cdot 300}{2}\cdot 12=29400$ рублей.

3. Ученица Маша хочет сдать тест не менее чем на 88 баллов. Студент Василий заметил, что каждый месяц результат Маши увеличивается на 7 баллов. За сколько месяцев занятий Маша достигнет результата, если ее результат до начала занятий составлял 43 балла?

После первого месяца занятий результат Маши улучшается на 7 баллов и составляет 43 + 7 = 50 баллов. Еще через месяц 50 + 7 = 57 баллов.

Мы имеем дело с арифметической прогрессией, в которой $a_1=43,d=7.$

Пусть результат не ниже 88 баллов достигнут через n месяцев. Получим:

$a_n=a_1+(n-1)d=43+7\cdot (n-1)\geq 88.$

$43+7\cdot (n-1)\geq 88$

$n-1\geq \frac{45}{7}$

$n\geq \frac{52}{7}$

Так как n – целое, $n\geq 8.$ Осталось ответить на вопрос задачи.

Результаты теста Маши составляют арифметическую прогрессию, в которой $a_1=43, a_2=50... a_8=a_1+(n-1)d=43+(8-1)\cdot 7=92.$

Значит, через 1 месяц занятий результат Маши увеличится до 50, через два – до 57, а через семь – до 92.

Семь месяцев занятий нужно Маше, чтобы достичь результата.

Задачи ОГЭ на тему «Арифметическая прогрессия»

4. (Задача ОГЭ)

В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1) 28 + 2n 2) 30 + 2n 3) 32+2n 4) 2n

Количество мест в рядах кинозала образуют арифметическую прогрессию. По формуле для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+(n-1)d$

В нашей прогрессии $a_1=30,\, \, d=2.$

Значит, $a_n=30+2(n-1)=28+2n.$

Правильный ответ: 1.

5. (Задача ОГЭ) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −87 ; −76; −65; … Найдите первый положительный член этой прогрессии.

Найдем разность прогрессии: $d= a_2-a_1=(-76)-(-87)=11.$

По формуле для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n=a_1+(n-1)d$

Мы хотим найти первый положительный член этой прогрессии. Это значит, что мы находим номер n, начиная с которого выполняется неравенство .

Получим:

Отсюда

Значит, $a_9$ – первый положительный член прогрессии. Он равен: $a_9= a_1+8d=1.$

Задачи ОГЭ для самостоятельного решения:

1. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии –7,2; –6,9; …

2. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; −9; x; −13; −15; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

Ответы к задачам:

1. Ответ: -90

2. Ответ: -11.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Арифметическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Арифметическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике

Это полезно