Анна Малкова
Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d:
Фиксированное число d называется разностью арифметической прогрессии.
Формула n-го члена арифметической прогрессии:
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
вычисляется по формуле:
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних:
1. Студент Василий задумал стать репетитором. Он рассчитал, что будет проводить ровно 4 занятия в месяц с каждым учеником и стоимость каждого занятия составит 1000 рублей.
а) Если в первый месяц у Василия 2 ученика и каждый месяц число учеников увеличивается на 1, то сколько заработает Василий за 12-й месяц работы?
б) Сколько всего заработает Василий за год (то есть за 12 месяцев работы)?
В первый месяц у Василия два ученика. Во второй – три ученика, в третий – четыре, в каждый следующий – на одного ученика больше. Число учеников Василия образует арифметическую прогрессию, где – первый член прогрессии, d = 1 – разность прогрессии.
По формуле n-ного члена арифметической прогрессии,
Получим:
а) Работая 12-й месяц, Василий обучает 13 учеников.
Проводя с каждым 4 занятия по 1000 рублей в месяц, Василий заработает за 12-й месяц тысячи рублей.
б) Сколько всего заработает Василий за год? Суммы, которые Василий зарабатывает ежемесячно, также образуют арифметическую прогрессию, в которой тысяч рублей, а
тысячи рублей.
По формуле суммы арифметической прогрессии, .
тысяч рублей.
2. Проработав год репетитором, студент Василий обнаружил, что вместе с количеством учеников растут и его расходы на транспорт. В первый месяц Василий потратил на поездки к ученикам 800 рублей и каждый следующий месяц эта сумма увеличивалась на 300 рублей
Сколько денег потратил Василий на поездки к ученикам за весь год?
По условию, суммы денег, которые Василий тратит на поездки к ученикам, образуют арифметическую прогрессию, в которой и
.
По формуле суммы арифметической прогрессии,
Получим: рублей.
3. Ученица Маша хочет сдать тест не менее чем на 88 баллов. Студент Василий заметил, что каждый месяц результат Маши увеличивается на 7 баллов. За сколько месяцев занятий Маша достигнет результата, если ее результат до начала занятий составлял 43 балла?
После первого месяца занятий результат Маши улучшается на 7 баллов и составляет 43 + 7 = 50 баллов. Еще через месяц 50 + 7 = 57 баллов.
Мы имеем дело с арифметической прогрессией, в которой
Пусть результат не ниже 88 баллов достигнут через n месяцев. Получим:
Так как n – целое, Осталось ответить на вопрос задачи.
Результаты теста Маши составляют арифметическую прогрессию, в которой
Значит, через 1 месяц занятий результат Маши увеличится до 50, через два – до 57, а через семь – до 92.
Семь месяцев занятий нужно Маше, чтобы достичь результата.
Задачи ОГЭ на тему «Арифметическая прогрессия»
4. (Задача ОГЭ)
В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?
1) 28 + 2n 2) 30 + 2n 3) 32+2n 4) 2n
Количество мест в рядах кинозала образуют арифметическую прогрессию. По формуле для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:
В нашей прогрессии
Значит,
Правильный ответ: 1.
5. (Задача ОГЭ) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −87 ; −76; −65; … Найдите первый положительный член этой прогрессии.
Найдем разность прогрессии:
По формуле для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:
Мы хотим найти первый положительный член этой прогрессии. Это значит, что мы находим номер n, начиная с которого выполняется неравенство .
Получим:
Значит, – первый положительный член прогрессии. Он равен:
Задачи ОГЭ для самостоятельного решения:
1. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии –7,2; –6,9; …
2. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; −9; x; −13; −15; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .
Ответы к задачам:
1. Ответ: -90
2. Ответ: -11.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Арифметическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 09.03.2023