Что такое числовая последовательность?
Друзья, мы начинаем изучать арифметическую и геометрическую прогрессии.
Прогрессии – это примеры числовых последовательностей. А что же такое последовательность?
Запишем через точку с запятой несколько чисел:
5; 11; 3; 9; 97; 2, 3.
Можно сказать, что мы задали числовую последовательность, в которой 7 членов. На первом месте стоит число 5, на втором число 11, на третьем 3…
Каждое из этих чисел – под определенным номером, от первого до седьмого.
Записать это можно так:
;
;
,
...
Мы задали числовую последовательность, в которой каждому номеру от 1 до 7 соответствует определенное число.
Числовая последовательность — это множество чисел, в котором каждому числу можно присвоить уникальный номер.
В нашем случае первый член последовательности равен 5, второй 11, третий 3…
Можно также сказать, что последовательность – это функция натурального аргумента. Аргумент – это номер: 1, 2, 3…
А значения этой функции – члены последовательности.
Представим себе гаджет, на экране которого раз в секунду возникает какое-нибудь число. Например, 8; -4; 0; 0,6; 8; 1; -11…
В первую секунду число 8, во вторую -4, в третью 0… Каждому номеру ставится в соответствие
, то есть
ный член последовательности
Вот еще несколько примеров числовых последовательностей:
1) 1; ; 1; 1; 1; 0; 0;
; 1
2) 8; -1; 8; -1; 8; -1…
3) 3; 6; 9; 12
Последовательность может состоять не только из натуральных чисел. В примерах 1 и 2 членами последовательности являются и отрицательные, и дробные числа.
Во втором из этих примеров последовательность легко задать описанием. Члены последовательности с нечетными номерами равны 8, а те, которые с четными номерами, равны -1.
Последовательность может быть конечной или бесконечной. В примере 2 последовательность бесконечная (мы поняли это, потому что за последним из написанных чисел стоит многоточие).
А в третьем примере последовательность можно задать формулой и записать так:
.
Так же, как мы задаем формулой функцию. Только здесь аргумент не , а натуральное число
.
Чаще всего мы изучаем последовательности, заданные формулами.
1. Определите формулу для n-ного члена последовательности:
а) 1; 1; 1; 1; 1…
б) 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…
в) 2; 4; 8; 16; 32; 64…
Решение:
а)1; 1; 1; 1; 1…
Здесь все просто, для всех
.
б)1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…
Каждый следующий член последовательности, начиная со второго, на 3 больше, чем предыдущий. Такая последовательность называется арифметическая прогрессия.
В ней ,
,
,
...
.
в) 2; 4; 8; 16; 32; 64…
А в этой последовательности каждый член, начиная со второго, в 2 раза больше предыдущего. Такая последовательность называется геометрическая прогрессия.
В ней ,
,
,
.
В этой теме мы изучим арифметическую прогрессию, а в следующей – геометрическую.
Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа :
, (
)
Фиксированное число называется разностью арифметической прогрессии.
Например, для прогрессии 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…
– первый член, а разность
, потому что каждый следующий член прогрессии больше предыдущего на 3.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: .
Найдем 25-й член арифметической прогрессии 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…
Конечно, можно выписать подряд 25 членов этой прогрессии. Но лучше применить формулу:
.
Cумма первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
Найдем сумму 25 членов арифметической прогрессии 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19…
Можно было посчитать сумму и по второй формуле:
.
Основное свойство арифметической прогрессии:
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних: .
Разберем задачи по теме «Арифметическая прогрессия».
1. В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?
Решение:
Количество мест в ряду увеличивается по закону арифметической прогрессии, в которой первый член , а разность
.
Найдем восьмой член этой прогрессии по формуле .
.
Ответ: 38
2. Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 9 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?
Решение:
За каждую следующую секунду камень пролетает на 10 метров больше, чем в предыдущую. В первую 9 метров, во вторую 19, в третью 29, в четвертую 39… Это арифметическая прогрессия. Расстояние, которое камень пролетит за первые 5 секунд, равно сумме 5 первых членов этой арифметической прогрессии. Найдем его по формуле
,
м.
Ответ: 145
Следующая задача чуть более сложная (не из вариантов ОГЭ).
3. Максим решил накопить на айфон последней модели и 1 марта положил в копилку 10 рублей. С этого дня Максим ежедневно опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день. Сколько рублей будет в копилке 31 мая, после того как Максим, как обычно, положит туда деньги?
Решение:
По условию, 1 марта в копилке у Максима 10 рублей.
2 марта Максим опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день, то есть 20 рублей.
3 марта он добавляет еще 30 рублей,
4 марта 40 рублей,
5 марта 50 рублей.
Мы имеем дело с арифметической прогрессией.
В нашей прогрессии ,
. В марте 31 день, в апреле 30, в мае 31 день. Значит,
.
31 мая Максим положит в копилку рублей.
Всего в копилке в этот день будет рублей.
Видите, как удобно пользоваться формулами для вычисления n-го члена и суммы арифметической прогрессии. Намного проще, чем складывать 92 слагаемых.
4. При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6 °C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -7 °C.
Решение:
Каждую минуту температура вещества на 6 градусов меньше, чем в предыдущую. Значения температуры составляют убывающую арифметическую прогрессию с разностью, разность которой равна −6.
В этой прогрессии С, это первый член прогрессии. Значение через минуту – это
, через 2 минуты получим
… через 4 минуты получим
.
По формуле n-го члена арифметической прогрессии, .
градус Цельсия.
Ответ: -31
5. Дана арифметическая прогрессия: −75; −40; −5; ... Найдите её девятый член.
Решение:
По условию,
Найдем разность прогрессии:
или
.
По формуле n-го члена прогрессии получим:
,
.
Ответ: 205
6. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8…
Решение.
По условию, ;
.
Разность прогрессии .
Это убывающая арифметическая прогрессия. Ее члены вначале положительны, а начиная с некоторого номера, отрицательны. Возможно, какой-то из членов прогрессии равен нулю.
Найдём последний положительный член арифметической прогрессии и его номер. По формуле n-го члена,
.
Т.к. , то решим неравенство
.
Получим: , а значит,
.
Тогда .
Осталось вычислить сумму. Используем формулу суммы арифметической прогрессии.
.
Ответ: 162,4
7. Студент Василий задумал стать репетитором. Он рассчитал, что будет проводить ровно 4 занятия в месяц с каждым учеником и стоимость каждого занятия составит 1000 рублей.
а) Если в первый месяц у Василия 2 ученика и каждый месяц число учеников увеличивается на 1, то сколько заработает Василий за 12-й месяц работы?
б) Сколько всего заработает Василий за год (то есть за 12 месяцев работы)?
Решение:
В первый месяц у Василия два ученика. Во второй – три ученика, в третий – четыре, в каждый следующий – на одного ученика больше. Число учеников Василия образует арифметическую прогрессию, где – первый член прогрессии, d = 1 – разность прогрессии.
По формуле -ного члена арифметической прогрессии,
Получим:
а) Работая 12-й месяц, Василий обучает 13 учеников.
Проводя с каждым 4 занятия по 1000 рублей в месяц, Василий заработает за 12-й месяц тысячи рублей.
б) Сколько всего заработает Василий за год? Суммы, которые Василий зарабатывает ежемесячно, также образуют арифметическую прогрессию, в которой тысяч рублей, а
тысячи рублей.
По формуле суммы арифметической прогрессии, .
тысяч рублей.
8. Проработав год репетитором, студент Василий обнаружил, что вместе с количеством учеников растут и его расходы на транспорт. В первый месяц Василий потратил на поездки к ученикам 800 рублей и каждый следующий месяц эта сумма увеличивалась на 300 рублей.
Сколько денег потратил Василий на поездки к ученикам за весь год?
По условию, суммы денег, которые Василий тратит на поездки к ученикам, образуют арифметическую прогрессию, в которой и
.
По формуле суммы арифметической прогрессии,
Получим: рублей.
9. Ученица Маша хочет сдать тест не менее чем на 88 баллов. Студент Василий заметил, что каждый месяц результат Маши увеличивается на 7 баллов. За сколько месяцев занятий Маша достигнет результата, если ее результат до начала занятий составлял 43 балла?
После первого месяца занятий результат Маши улучшается на 7 баллов и составляет 43 + 7 = 50 баллов. Еще через месяц 50 + 7 = 57 баллов.
Мы имеем дело с арифметической прогрессией, в которой
Пусть результат не ниже 88 баллов достигнут через n месяцев. Получим:
Так как n – целое, Осталось ответить на вопрос задачи.
Результаты теста Маши составляют арифметическую прогрессию, в которой
Значит, через 1 месяц занятий результат Маши увеличится до 50, через два – до 57, а через семь – до 92.
Семь месяцев занятий нужно Маше, чтобы достичь результата.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Арифметическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 05.09.2023