Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусов

Анна Малкова

Вписанные углы А и С четырехугольника АВСD на рисунке опираются на дуги ВСD и BAD, сумма которых равна 360 градусов. Значит, сумма углов А и С равна $180^{\circ}$ .

Докажем обратное утверждение.

Пусть сумма углов А и С четырехугольника АВСD равна 180°. Докажем, что точки А, В, С и D лежат на одной окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Опишем окружность вокруг треугольника АВD. Мы не знаем пока, лежит ли точка С на этой окружности. Значит, С может лежать на этой окружности, или внутри нее, или вне окружности.

Предположим, что точка С лежит внутри окружности, описанной вокруг треугольника АВD. Продолжим отрезок ВС до пересечения с окружностью в точке $C_1$ .

Так как четырехугольник $ABC_1D$ вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна 180°. Это мы доказали. Значит, $\angle BC_1D = 180^\circ - \angle BAD$ .

По условию, $\angle BCD=180^\circ - \angle BAD$ . Значит $\angle BC_1D = \angle BCD.$

Угол $C_1CD$ – смежный с углом ВСD, $\angle C_1CD=180^\circ - \angle BCD = 180^\circ- \angle BC_1D.$ Тогда в треугольнике $CC_1D$ сумма углов $BCD$ и $BC_1D$ равна 180°. Такой треугольник не может существовать, поскольку угол D в нем равен нулю. Значит, точка С не может лежать внутри окружности, описанной вокруг треугольника ABD.

Аналогично доказывается, что С не может лежать и вне этой окружности. Остается случай, когда точки А, В, С и D лежат на одной окружности.

И это значит, что ABCD вписан в окружность.

Задачи ЕГЭ по теме «Вписанный четырехугольник»

1. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен $58^{\circ}$ . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна $180^{\circ}$ . Величина угла С равна $180^{\circ}- 58^{\circ} = 122^{\circ}.$

2. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $24^{\circ}$ и $67^{\circ}$ . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна $180^{\circ}$ . Больший из оставшихся углов лежит напротив меньшего из указанных в условии, и он равен $180^{\circ} -24^{\circ}= 156^{\circ}$ .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусов» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.03.2023

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусов

Это полезно