Анна Малкова
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
Доказательство:
Пусть \(AB\) – хорда окружности, \(CD\) – перпендикулярный ей диаметр, пересекающий \(AB\) в точке \(M\). Треугольник \(OAB\) – равнобедренный, \(AO = OB\) как радиусы окружности. Тогда его высота \(OM\) является также и медианой, \(M\) – середина \(AB\).
1. Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Диаметр \(CC_{1}\) перпендикулярен стороне \(AD\) и пересекает её в точке \(M\), а диаметр \(DD_{1}\) перпендикулярен стороне \(AB\) и пересекает её в точке \(N\).
а) Пусть \(AA_{1}\) также диаметр окружности. Докажите, что углы \(DNM\) и \(BA_{1}D_{1} \) равны.
б) Найдите углы четырёхугольника \(ABCD\), если угол \(CDB\) вдвое меньше угла \(ADB\).
Решение:
а) Докажем, что \(\angle DNM = \angle BA_1D_1\).
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, поэтому \(N\) – середина \(AB\), \(M\) – середина \(АD\).
Рассмотрим \(\triangle BAD; \, \, MN \) – средняя линия \(\triangle BAD; \, \, MN\parallel BD\). Значит, \(\angle D_1DB=\angle MND\) (накрест лежащие) \(\angle D_1DB=\angle D_1A_1B\) – вписанные, опираются на одну дугу.
б) Найдем углы четырехугольника \(ABCD\), если \(2\angle CDB=\angle ADB\).
Пусть \(\angle CDB=\varphi ,\) тогда \(\angle ADB=2\varphi =2\angle BDD_1\).
Треугольник \(ABD\) – равнобедренный, поскольку медиана \(DN\) является его высотой. Значит, \(\angle ADC=3\varphi \) .
Тогда \(\angle DC_1 M=90^{\circ}-3\varphi \) (из треугольника \(DCM\)).
\(\angle DOC_1=2\angle DCC_1 = 180^{\circ}-6\varphi \) – как центральный угол, опирающийся на ту же дугу.
Рассмотрим \(\triangle DOM.\) В этом треугольнике:
\(180^{\circ}-6\varphi +\varphi =90^{\circ}, \) отсюда \(\varphi =18^{\circ}\).
Тогда \(\angle D=3\varphi =54^{\circ}, \, \, \angle ABC=180^{\circ}-3\varphi =126^{\circ}\) – по свойству четырехугольника, вписанного в окружность.
Из \(\triangle AND:\, \, \angle A=90^{\circ}-\varphi =72^{\circ},\) тогда \(\angle BCD=180^{\circ}-\angle A= 108^{\circ}\).
Мы нашли все углы четырехугольника \(ABCD\).
