Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам

Анна Малкова

Доказательство:

Пусть АВ – хорда окружности, CD – перпендикулярный ей диаметр, пересекающий АВ в точке М. Треугольник ОАВ – равнобедренный, АО = ОВ как радиусы окружности. Тогда его высота ОМ является также и медианой, М – середина АВ.

1. Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Диаметр CC₁ перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке М, а диаметр DD₁ перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.

а) Пусть АА₁ также диаметр окружности. Докажите, что углы DNM и BA₁D₁ равны.

б) Найдите углы четырёхугольника ABCD, если угол CDB вдвое меньше угла ADB.

а) Докажем:

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, поэтому N – середина АВ, М – середина АD.

Рассмотрим  – средняя линия Значит, (накрест лежащие)  – вписанные, опираются на одну дугу.

б) Найдем углы четырехугольника ABCD, если 

Пусть  тогда  Треугольник  – равнобедренный, поскольку медиана DN является его высотой. Значит,  Тогда  (из треугольника ).

 – как центральный угол, опирающийся на ту же дугу.

Рассмотрим  В этом треугольнике:

отсюда

Тогда – по свойству четырехугольника, вписанного в окружность.

Из  тогда

Мы нашли все углы четырехугольника ABCD.