Анна Малкова
Доказательство:
Пусть АВ – хорда окружности, CD – перпендикулярный ей диаметр, пересекающий АВ в точке М. Треугольник ОАВ – равнобедренный, АО = ОВ как радиусы окружности. Тогда его высота ОМ является также и медианой, М – середина АВ.
1. Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Диаметр CC1 перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке М, а диаметр DD1 перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.
а) Пусть АА1 также диаметр окружности. Докажите, что углы DNM и BA1D1 равны.
б) Найдите углы четырёхугольника ABCD, если угол CDB вдвое меньше угла ADB.
а) Докажем:
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, поэтому N – середина АВ, М – середина АD.
Рассмотрим – средняя линия
Значит,
(накрест лежащие)
– вписанные, опираются на одну дугу.
б) Найдем углы четырехугольника ABCD, если
Пусть тогда
Треугольник
– равнобедренный, поскольку медиана DN является его высотой. Значит,
Тогда
(из треугольника
).
– как центральный угол, опирающийся на ту же дугу.
Рассмотрим В этом треугольнике:
отсюда
Тогда – по свойству четырехугольника, вписанного в окружность.
Из тогда
Мы нашли все углы четырехугольника ABCD.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 05.09.2023