Если площадь треугольника равна \(S\), то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна \(\displaystyle \frac{3}{4} S\).
Пусть \(AM, \; DK, \; CN\) – медианы треугольника \(ABC, \; O\) – точка их пересечения.
Площадь треугольника \(ABO\) в 3 раза меньше площади треугольника \(ABC\) (высота треугольника \(ABO\) в 3 раза меньше высоты треугольника \(ABC\)).
Тогда площадь треугольника \(ANO\) равна \(\displaystyle \frac{1}{6}\) площади треугольника \(ABC\) (медианы треугольника делят его на 6 равновеликих, то есть равных по площади, треугольников).
\(S_{\triangle ANO}=\displaystyle \frac{1}{2}AO\cdot ON\cdot sin\varphi =\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}AM\cdot \frac{1}{3}CN\cdot sin\varphi =\frac{1}{9}AM\cdot CN\cdot sin\varphi \), где \(\varphi\) – угол между медианами \(АM\) и \(CN\).
Мы получили, что \(S_{\triangle ANO}=\displaystyle \frac{1}{9}AM\cdot CN \cdot sin \varphi=\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}.\)
Построим треугольник \(DEF\), стороны которого равны медианам треугольника \(ABC\).
\(EF = AM, \; DF = BK\) и \(DE = CN.\)
В этом треугольнике угол \(DEF\) равен \(\varphi\), и его площадь \(S_{\triangle DEF}=\displaystyle \frac{1}{2}DE \cdot EF \cdot sin \varphi=\displaystyle \frac{1}{2}AM\cdot CN\cdot sin \varphi=\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}=\displaystyle \frac{3}{4}S_{\triangle ABC}.\)
