previous arrow
next arrow
Slider
Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна \frac{3}{4} S

Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна \frac{3}{4} S

Пусть АМ, ВК, СN – медианы треугольника АВС, О – точка их пересечения.
Площадь треугольника АВО в 3 раза меньше площади треугольника АВС (высота треугольника АВО в 3 раза меньше высоты треугольника АВС).

Тогда площадь треугольника АNO равна \frac{1}{6} площади треугольника АВС (медианы треугольника делят его на 6 равновеликих, то есть равных по площади, треугольников).

 где \varphi – угол между медианами АМ и СN.
Мы получили, что S_{\triangle ANO}=\frac{1}{9}AM\cdot CN \cdot sin \varphi=\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}.

Построим треугольник DЕF, стороны которого равны медианам треугольника АВС.
EF = АМ, DF = ВК и DE = СN. В этом треугольнике угол DEF равен \varphi, и его площадь S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}DE \cdot EF \cdot sin \varphi=\frac{1}{2}AM\cdot CN\cdot sin \varphi=\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{4}S_{\triangle ABC}.

 

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна u0027 S» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 09.03.2023