previous arrow
next arrow
Slider
Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна \frac{3}{4} S

Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна \frac{3}{4} S

Пусть АМ, ВК, СN – медианы треугольника АВС, О – точка их пересечения.
Площадь треугольника АВО в 3 раза меньше площади треугольника АВС (высота треугольника АВО в 3 раза меньше высоты треугольника АВС).

Тогда площадь треугольника АNO равна \frac{1}{6} площади треугольника АВС (медианы треугольника делят его на 6 равновеликих, то есть равных по площади, треугольников).

 где \varphi – угол между медианами АМ и СN.
Мы получили, что S_{\triangle ANO}=\frac{1}{9}AM\cdot CN \cdot sin \varphi=\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}.

Построим треугольник DЕF, стороны которого равны медианам треугольника АВС.
EF = АМ, DF = ВК и DE = СN. В этом треугольнике угол DEF равен \varphi, и его площадь S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}DE \cdot EF \cdot sin \varphi=\frac{1}{2}AM\cdot CN\cdot sin \varphi=\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{4}S_{\triangle ABC}.