Анна Малкова
1) Рассмотрим внешнюю касательную MN к непересекающимся окружностям радиусов R и r.
Задача решается в одно действие, а схему решения желательно запомнить – пригодится в задачах ЕГЭ.
Четырехугольник – прямоугольная трапеция, так как
(как радиус и касательная)
.
Проведем .
Из (по теореме Пифагора).
При этом (так как
– прямоугольник по построению).
Получаем:
.
2) Теперь внутреннее касание.
Даны окружности с центрами
и
и радиусами R и r.
Точки касания общей внутренней касательной – P и K соответственно, расстояние между центрами окружностей .
Докажем, что .
Продолжим (радиус меньшей окружности). Из точки
опустим перпендикуляр
. Получим, что
– прямоугольник
.
В треугольнике имеем:
(по теореме Пифагора).
Поскольку – прямоугольник,
.
, что и требовалось доказать.