Анна Малкова
Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа \(q\):
\(b_{n+1 }= b_{n}q \: \: \, \, (n = 1,2, ...).\)
Фиксированное число \(q\) называется знаменателем геометрической прогрессии.
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии: \(b_n=b_1q^{n-1}.\)
Формула суммы \(S_n=b_1+b_2+...+b_n\) первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
\(S_n=b_1\displaystyle \frac{q^n-1}{q-1}.\)
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних:
\(b_n^2= b_{n-1}\cdot b_{n+1}.\)
1. Начинающий видеоблогер Маша подсчитала, что каждый ее следующий новый видеоролик набирает в 3 раза больше просмотров, чем предыдущий.
а) Сколько просмотров набрал шестой видеоролик Маши, если первый посмотрели 20 человек?
б) Сколько просмотров набрали 6 первых видеороликов Маши?
Решение:
По условию, каждый следующий новый видеоролик Маши набирает в 3 раза больше просмотров, чем предыдущий. Первый набрал 20 просмотров, второй 60, третий 180. Легко посчитать, сколько наберут четвертый, пятый, шестой…
Эти величины образуют геометрическую прогрессию, где \(b_1=20\) – количество просмотров первого ролика Маши, \(q = 3\) - знаменатель прогрессии.
а) По формуле \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\(b_n=b_1q^{n-1}.\)
Значит, \(b_6=b_1q^{5-1}=\ 20{\cdot 3}^{6-1}=20{\cdot 3}^5=20{\cdot 243}^{\ }=4860\) просмотров.
б) Найдем, сколько просмотров набрали все 6 видеороликов Маши.
По формуле суммы первых членов геометрической прогрессии:
\(S_n=b_1\displaystyle \frac{q^n-1}{q-1}. \)
Получим: \(S_6=b_1+b_2+...+b_6=b_1\displaystyle \frac{q^6-1}{q-1}=20\cdot \frac{3^6-1}{3-1}=10\cdot \left({27}^2-1\right)=7280.\)
Шестой видеоролик Маши набрал 4860 просмотров, а все 6 первых набрали 7280 просмотров.
2. В июне 2023 года фермер Поляков обнаружил, что на его кукурузном поле обитает 40 диких хомяков. Из интернета фермер Поляков узнал, что каждые 4 месяца численность хомяков удваивается. Сколько хомяков может обитать на кукурузном поле фермера через 2 года, если фермер Поляков не помешает им размножаться?
Решение:
В году 12 месяцев, \(12 = 4\cdot3\). Значит, 1 год – это 3 периода по 4 месяца, а 2 года – это 6 таких периодов.
Количество хомяков на кукурузном поле растет в геометрической прогрессии (если им не мешать). Через 4 месяца хомяков станет \(b_2=b_1 q=40\cdot2=80\),
Еще через 4 месяца \(b_3=b_1 q^2 = 80\cdot2 = 160\), за 2 года удвоение численности хомяков произойдет 6 раз.
Найдем седьмой член этой прогрессии по формуле \(b_n=b_1 q^{n-1}\).
\(b_7=b_1 q^6=b_1 q^6=40\cdot2^6=40\cdot64=2560\) хомяков.
Ответ: 2560.
Может ли количество хомяков на участке фермера Полякова расти до бесконечности? Вообще-то нет: им не хватит места и пищи на одном участке, и хомяки пойдут захватывать новые территории.
3. На поверхности озера растут водоросли. За сутки каждая водоросль делится пополам, и вместо одной водоросли появляются две. Ещё через сутки каждая из получившихся водорослей делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось водорослями. Через какое время озеро было заполнено наполовину?
Решение:
Ответ парадоксальный: через 29 суток.
Эту задачу лучше всего решать «с конца». Вот перед вами заполненное водорослями озеро. Что было сутки назад? Очевидно, водорослей было в два раза меньше, то есть озеро было покрыто ими наполовину.
Каждый день водорослей в озере становилось в два раза больше, то есть их число увеличивалось в геометрической прогрессии.
Ответ: 29.
4. (Задача ОГЭ) В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.
В ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.
Решение:
Пусть \(b\) — первый член, а \(q\) — знаменатель прогрессии.
По условию, \(b_2+b_3=2(b_1+ b_2). \)
\(b_2\left(1+q\right)=2b_1\left(1+q\right).\)
Значит, \(q= 2\).
Тогда \(b_1+ 2b_1= 75\), поэтому \(b_1=25.\)
Первый, второй и третий члены прогрессии равны 25, 50 и 100.
Ответ: 2550100.
5. (Задача ОГЭ) Геометрическая прогрессия задана условием \(b_n=160\cdot 3^{n}.\) Найдите сумму первых её 4 членов.
Решение:
Найдём знаменатель геометрической прогрессии:
\(q=\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{160\cdot 3^{n+1}}{160\cdot 3^{n}}=3.\)
Первый член данной прогрессии равен \(b_1=160\cdot 3^{1}=480\). Сумма первых \(k\) членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:
\(S_k=\displaystyle \frac{b_1(1-q^{k})}{1-q}.\)
Получим: \(S_4=\displaystyle \frac{480\cdot (1-3^{4})}{1-3}=\frac{480\cdot (1-81)}{-2}=\frac{480\cdot (-80)}{-2}=19200.\)
6. (Задача ОГЭ) Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −1024; −256; −64; … Найдите сумму первых 5 её членов.
Решение:
Найдём знаменатель геометрической прогрессии:
\(q=\displaystyle \frac{b_2}{b_1}=\frac{-256}{-1024}=\frac{1}{4}.\)
Найдём четвёртый и пятый члены прогрессии:
\(b_4=b_3q=-64\cdot \displaystyle \frac{1}{4}=-16,\: \: b_5=b_4q=-16\cdot \frac{1}{4}=-4.\)
Сумма первых пяти первых членов прогрессии равна \(-1024-256-64-16-4=-1364.\)
Ответ: -1364.
7. (ЕГЭ) Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Невелика была прибыль Бубликова в 2000 году. Зато каждый год прибыль увеличивалась на 300%, то есть в 4 раза по сравнению с предыдущим годом. Геометрическая прогрессия! Ищем ее четвертый член:
\(5000\cdot 4^3 = 320 000.\)
8. (Задача ЕГЭ) Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 6000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Определим основные понятия задачи.
Капитал компании – совокупность всех средств, имеющихся у компании.
Прибыль – разница между доходом и расходом (затратами).
Если в 2002 году прибыль компании «Альфа» составляет 100% от капитала прошлого года, значит, за год капитал компании «Альфа» удвоился. Аналогично, капитал компании «Альфа» удваивается в 2003, 2004, 2005 и 2006 годах, то есть в 2006 году он составил \(3000 \cdot 2^5 = 96 000 \) тысяч долларов.
Капитал компании «Бета» ежегодно увеличивается в 3 раза. В 2006 году он увеличился в \(3^3=27 \) раз по сравнению с 2003 годом и составил \(6000 \cdot 27 = 162000 \) долларов.
Это на 66 тысяч долларов больше, чем капитал компании «Альфа».
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия, знаменатель которой \(\left| q\right|< 1\), называется бесконечно убывающей.
\(1;\, \displaystyle \frac{1}{2};\, \frac{1}{4};\, \frac{1}{8};\, \frac{1}{16}...\) пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Чему же равна ее сумма?
Нарисуем прямоугольник с площадью 1. Добавим к нему участки с площадью \(\displaystyle \frac{1}{2};\, \frac{1}{4};\, \frac{1}{8}...\)
К чему стремится площадь полученной фигуры при бесконечном увеличении \(n\), то есть при добавлении все более мелких участков? Очевидно, к двум.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии – число, которое находится по формуле:
\(S=\displaystyle \frac{b_1}{1-q}.\)
Есть такой математический анекдот, и теперь вы его поймете.
Бесконечное число математиков заходит в бар. Первый говорит: «Мне кружку пива!» Второй: «Мне полкружки пива!» Третий: «Мне четверть кружки пива!» Четвертый: «Мне \(\displaystyle \frac{1}{8}\) кружки пива!» Бармен: «Погодите-ка… Знаю я ваши фокусы — вам две кружки пива на всех!»
