Геометрическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике

Анна Малкова

Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:

$b_{n+1 }= b_{n}q \: \: \, \, (n = 1,2, ...).$

Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n=b_1q^{n-1}$

Формула суммы $S_n=b_1+b_2+...+b_n$ первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}$

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних:

$b_n^2= b_{n-1}\cdot b_{n+1}$

1. На поверхности озера растут водоросли. За сутки каждая водоросль делится пополам, и вместо одной водоросли появляются две. Ещё через сутки каждая из получившихся водорослей делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось водорослями. Через какое время озеро было заполнено наполовину?

Ответ парадоксальный: через 29 суток.

Эту задачу лучше всего решать «с конца». Вот перед вами заполненное водорослями озеро. Что было сутки назад? Очевидно, водорослей было в два раза меньше, то есть озеро было покрыто ими наполовину.

Каждый день водорослей в озере становилось в два раза больше, то есть их число увеличивалось в геометрической прогрессии.

2. ЕГЭ) Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Невелика была прибыль Бубликова в 2000 году. Зато каждый год прибыль увеличивалась на 300%, то есть в 4 раза по сравнению с предыдущим годом. Геометрическая прогрессия! Ищем ее четвертый член:

$5000\cdot 4^3 = 320 000$

3. (Задача ЕГЭ) Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 6000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Определим основные понятия задачи.

Капитал компании – совокупность всех средств, имеющихся у компании.

Прибыль – разница между доходом и расходом (затратами).

Если в 2002 году прибыль компании «Альфа» составляет 100% от капитала прошлого года, значит, за год капитал компании «Альфа» удвоился. Аналогично, капитал компании «Альфа» удваивается в 2003, 2004, 2005 и 2006 годах, то есть в 2006 году он составил $3000 \cdot 2^5 = 96 000$ тысяч долларов.

Капитал компании «Бета» ежегодно увеличивается в 3 раза. В 2006 году он увеличился в $3^3=27$ раз по сравнению с 2003 годом и составил $6000 \cdot 27 = 162000$ долларов.

Это на 66 тысяч долларов больше, чем капитал компании «Альфа».

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия, знаменатель которой |q| <1, называется бесконечно убывающей.

$1;{{1}\over {2}};{{1}\over {4}};{{1}\over {8}};{{1}\over {16}}\dots$ пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Чему же равна ее сумма?

Нарисуем прямоугольник с площадью 1. Добавим к нему участки с площадью $\frac{1}{2};\, \frac{1}{4};\, \frac{1}{8}...$

К чему стремится площадь полученной фигуры при бесконечном увеличении n, то есть при добавлении все более мелких участков? Очевидно, к двум.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии – число, которое находится по формуле:

$S=\frac{b_1}{1-q}$

Есть такой математический анекдот, и теперь вы его поймете.

Бесконечное число математиков заходит в бар. Первый говорит: «Мне кружку пива!» Второй: «Мне полкружки пива!» Третий: «Мне четверть кружки пива!» Четвертый: «Мне $\frac{1}{8}$ кружки пива!» Бармен: «Погодите-ка… Знаю я ваши фокусы — вам две кружки пива на всех!»

Задачи ЕГЭ для самостоятельного решения

1. Бизнесмен Коровин получил в 2000 году прибыль в размере 1 400 000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 20% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей составила прибыль Коровина за 2004 год?

2. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 4000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2007 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Ответы:

Ответ: 2 903 040
Ответ: 134500

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Геометрическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 04.09.2023

Геометрическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике

Это полезно