Анна Малкова
Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:
Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
Формула n-го члена геометрической прогрессии:
Формула суммы первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних:
1. Начинающий видеоблогер Маша подсчитала, что каждый ее следующий новый видеоролик набирает в 3 раза больше просмотров, чем предыдущий.
а) Сколько просмотров набрал шестой видеоролик Маши, если первый посмотрели 20 человек?
б) Сколько просмотров набрали 6 первых видеороликов Маши?
Решение:
По условию, каждый следующий новый видеоролик Маши набирает в 3 раза больше просмотров, чем предыдущий. Первый набрал 20 просмотров, второй 60, третий 180. Легко посчитать, сколько наберут четвертый, пятый, шестой…
Эти величины образуют геометрическую прогрессию, где – количество просмотров первого ролика Маши, q = 3 - знаменатель прогрессии.
а) По формуле n-го члена геометрической прогрессии:
Значит, просмотров.
б) Найдем, сколько просмотров набрали все 6 видеороликов Маши.
По формуле суммы первых членов геометрической прогрессии:
Получим:
Шестой видеоролик Маши набрал 4860 просмотров, а все 6 первых набрали 7280 просмотров.
2. В июне 2023 года фермер Поляков обнаружил, что на его кукурузном поле обитает 40 диких хомяков. Из интернета фермер Поляков узнал, что каждые 4 месяца численность хомяков удваивается. Сколько хомяков может обитать на кукурузном поле фермера через 2 года, если фермер Поляков не помешает им размножаться?
Решение:
В году 12 месяцев, . Значит, 1 год – это 3 периода по 4 месяца, а 2 года – это 6 таких периодов.
Количество хомяков на кукурузном поле растет в геометрической прогрессии (если им не мешать). Через 4 месяца хомяков станет ,
Еще через 4 месяца , за 2 года удвоение численности хомяков произойдет 6 раз.
Найдем седьмой член этой прогрессии по формуле .
хомяков.
Ответ: 2560
Может ли количество хомяков на участке фермера Полякова расти до бесконечности? Вообще-то нет: им не хватит места и пищи на одном участке, и хомяки пойдут захватывать новые территории.
3. На поверхности озера растут водоросли. За сутки каждая водоросль делится пополам, и вместо одной водоросли появляются две. Ещё через сутки каждая из получившихся водорослей делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось водорослями. Через какое время озеро было заполнено наполовину?
Решение:
Ответ парадоксальный: через 29 суток.
Эту задачу лучше всего решать «с конца». Вот перед вами заполненное водорослями озеро. Что было сутки назад? Очевидно, водорослей было в два раза меньше, то есть озеро было покрыто ими наполовину.
Каждый день водорослей в озере становилось в два раза больше, то есть их число увеличивалось в геометрической прогрессии.
Ответ: 29
4. (Задача ОГЭ) В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.
В ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.
Решение:
Пусть — первый член, а q — знаменатель прогрессии.
По условию,
Значит, q = 2.
Тогда , поэтому
Первый, второй и третий члены прогрессии равны 25, 50 и 100.
Ответ: 2550100
5. (Задача ОГЭ) Геометрическая прогрессия задана условием Найдите сумму первых её 4 членов.
Решение:
Найдём знаменатель геометрической прогрессии:
Первый член данной прогрессии равен . Сумма первых k членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:
Получим:
6. (Задача ОГЭ) Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −1024; −256; −64; … Найдите сумму первых 5 её членов.
Решение:
Найдём знаменатель геометрической прогрессии:
Найдём четвёртый и пятый члены прогрессии:
Сумма первых пяти первых членов прогрессии равна
Ответ: -1364.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Геометрическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 05.09.2023