Из кодификатора по физике, 2020:
«1.1.6. Равноускоренное прямолинейное движение:
\(x(t)={ x }_{ 0 }+{ \upsilon }_{ 0x }\cdot t+\frac { { a }_{ x }\cdot { t }^{ 2 } }{ 2 }\), \({ \upsilon }_{ x }(t)={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t\)
\({ a }_{ x }=const\), \(\quad { \upsilon }_{ 2x }^{ 2 }-{ { \upsilon } }_{ 1x }^{ 2 }=2{ a }_{ x }\cdot ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })\).»
Теория
В данной статье будем считать, что Вы умеете без проблем находить проекции величин и в примерах не будем подробно объяснять, чему они равны.
В задачах на равноускоренное движение применяют пять величин: проекции перемещения \({ s }_{ x }\), проекции начальной скорости \({ \upsilon }_{ 0x }\) , проекции конечной скорости \({ \upsilon }_{ x }\), проекции ускорения \({ a }_{ x }\) и времени t. Достаточно знать любые три величины, чтобы найти все остальные.
При решении задач по данной теме применяют два способа решения.
1 способ. При решении запоминаем и применяем две формулы:
\({ \upsilon }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t\),
\({ s }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }\cdot t+\frac { { a }_{ x }\cdot { t }^{ 2 } }{ 2 } \).
А в наиболее сложных случаях решаем систему этих двух уравнений.
2 способ. При решении запоминаем и применяем пять формул (см. таблицу 1).
Таблица 1
Почему пять формул? Каждая из этих формул использует только четыре величины из пяти. Одна из величин не используется при решении (отсутствует) (см. таблицу 1, столбец № 3). Вариантов с одной отсутствующей величиной из пяти может быть только пять.
Алгоритм решения вторым способом.
1) определите, какие величины используются (даны или надо найти), а ка-кая отсутствует;
2) по отсутствующей величину из таблицы выберите рабочую формулу.
Пример 1. Найдите перемещение \({ s }_{ x }\), если известны \({ \upsilon }_{ x }\), \({ \upsilon }_{ 0x }\) и \({ a }_{ x }\).
Отсутствующая величина t. Согласно таблице 1 для решения нужно ис-пользовать формулу № 4:
\({ s }_{ x }=\frac { { \upsilon }_{ x }^{ 2 }-{ \upsilon }_{ 0x }^{ 2 } }{ 2{ a }_{ x } }\).
Пример 2. Найдите перемещение \({ s }_{ x }\) если известны \({ \upsilon }_{ x }\), \({ \upsilon }_{ 0x }\) и t.
Отсутствующая величина \({ a }_{ x }\). Согласно таблице 1 для решения нужно использовать формулу № 5
\({ s }_{ x }=\frac { { \upsilon }_{ x }+{ \upsilon }_{ 0x } }{ 2 } \cdot t\).
Для сомневающихся и любопытных.
Вывод формулы №3. Из уравнения \({ \upsilon }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t\) найдем проекцию начальной скорости:
\({ \upsilon }_{ 0x }={ \upsilon }_{ x }-{ a }_{ x }\cdot t\).
Подставим полученное выражение в формулу № 2:
Вывод формулы №4. Из уравнения \({ \upsilon }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t\) найдем время:
\(t=\frac { { \upsilon }_{ x }-{ \upsilon }_{ 0x } }{ { a }_{ x } } \).
Подставим полученное выражение в формулу № 2:
Вывод формулы №5. Из уравнения \({ \upsilon }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t\) найдем проекцию ускорения:
\({ a }_{ x }=\frac { { \upsilon }_{ x }-{ \upsilon }_{ 0x } }{ t }\).
Подставим полученное выражение в формулу № 2:
Задачи
Задача 1. Пассажирский поезд тормозит с ускорением 0,2 м/с2. На каком расстоянии от места включения тормоза скорость поезда станет равной 5 м/с, если перед торможением скорость была 15 м/с?
Решение. Скорость поезда уменьшается, поэтому ускорение направлено против начальной скорости. При прямолинейном движении (без поворотов) перемещение поезда равно расстоянию, которое он пройдет, т.е. s = s. Ось 0Х направим по направлению начальной скорости (рис. 1), поэтому
\({ s }_{ x }=s,\quad { \upsilon }_{ x }=\upsilon ,\quad { \upsilon }_{ 0x }={ \upsilon }_{ 0 },\quad { a }_{ x }=-a\)
1 Способ. Из уравнения \({ \upsilon }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t\) находим время:
\(t=\frac { { \upsilon }_{ x }-{ \upsilon }_{ 0x } }{ { a }_{ x } } =\frac { \upsilon -{ \upsilon }_{ 0 } }{ -a } ,\quad t=50c.\)
Перемещение находим из уравнения \({ s }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }\cdot t+\frac { { a }_{ x }\cdot { t }^{ 2 } }{ 2 } \):
\(s={ \upsilon }_{ 0 }\cdot t-\frac { a\cdot { t }^{ 2 } }{ 2 } \), s = 500 м.
2 Способ. Используются υ0, υ, a и s (надо найти).
Так как отсутствующая величина t, то применяем формулу № 4:
Задача 2. Самолет при взлете за 20 с пробегает по дорожке взлетной полосы 700 м. Какую скорость самолет имеет в конце дорожки взлетной полосы? Движение самолета считайте равноускоренным.
Решение. Скорость самолета увеличивается, поэтому ускорение направлено в сторону движения. Фраза из условия «при взлете» позволяет сделать вывод, что υ0 = 0. Ось 0Х направим по направлению начальной скорости (рис. 2), поэтому
\({ s }_{ x }=s,\quad { \upsilon }_{ x }=\upsilon ,\quad { \upsilon }_{ 0x }=0,\quad { a }_{ x }=a\)
1 способ. Из уравнения \({ s }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }\cdot t+\frac { { a }_{ x }\cdot { t }^{ 2 } }{ 2 } \) находим ускорение:
Конечную скорость находим из уравнения \({ \upsilon }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t\):
\(\upsilon =a\cdot t,\quad \upsilon =70\) м/с.
2 способ. Используются \({ \upsilon }_{ 0 }\), \(\upsilon\) (надо найти), t и s.
Так как отсутствующая величина a, то применяем формулу № 5:
Тогда
Задача 3. Шарик в начале наклонного желоба толкнули вниз со скоростью 2 м/с. Определите скорость шарика в конце желоба, если шарик двигался с ускорением 1,25 м/с2, а длина желоба – 2 м.
Решение. Скорость шарика увеличивается, поэтому ускорение направлено в сторону движения. По условию длина желоба – это расстояние, которое пройдет шарик, и при прямолинейном движении s = l. Ось 0Х направим по направлению начальной скорости (рис. 3), поэтому
\({ s }_{ x }=l,\quad { \upsilon }_{ x }=\upsilon ,\quad { \upsilon }_{ 0x }={ \upsilon }_{ 0 },\quad { a }_{ x }=a.\)
1 способ. Из уравнения \({ s }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }\cdot t+\frac { { a }_{ x }\cdot { t }^{ 2 } }{ 2 } \) находим время:
Получили квадратное уравнение относительно t. Корни этого уравнения:
находим конечную скорость из уравнения \({ \upsilon }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t\):
\(\upsilon ={ \upsilon }_{ 0 }+a\cdot t,\quad \upsilon =3\) м/с.
2 способ. Используются \({ \upsilon }_{ 0 }\), \(\upsilon\) (надо найти), a и s.
Так как отсутствующая величина t, то применяем формулу № 4:
Тогда
Задача 4. Хоккейная шайба проскользила по льду 50 м за 2,5 с и остановилась. С каким ускорением двигалась шайба?
Решение. По условию длина поля – это расстояние, которое пройдет шайба, и при прямолинейном движении s = l. «Шайба … остановилась» следовательно, \(\upsilon =0\). Скорость шайбы уменьшается, поэтому ускорение направлено против движения. Ось 0Х направим по направлению начальной скорости (рис. 4), поэтому
\({ s }_{ x }=l,\quad { \upsilon }_{ x }=0,\quad { \upsilon }_{ 0x }={ \upsilon }_{ 0 },\quad { a }_{ x }=-a\)
1 способ. Данную задачу по действиям решить нельзя, т.к. в каждом уравнение неизвестны две величины (ускорение и начальная скорость). Необходимо решать систему уравнений:
или
В итоге получаем:
2 способ. Используются \(\upsilon \), a (надо найти), t и s.
Так как отсутствующая величина \({ \upsilon }_{ 0 }\), то применяем формулу № 3:
Тогда
Вывод.
1) Преимущество первого способа только в том, что нужно запомнить две формулы. При применении второго способа надо запомнить пять формул.
2) При применении первого способа вы можете решать, как линейное уравнение с одним неизвестным, так и квадратные уравнения или систему двух уравнений в общем виде. При применении второго способа вы решаете одно уравнение с одним неизвестным.
Сакович А.Л., 2020
