previous arrow
next arrow
Slider

Задачи на равноускоренное движение

Из кодификатора по физике, 2020:

«1.1.6. Равноускоренное прямолинейное движение:

x(t)={ x }_{ 0 }+{ \upsilon }_{ 0x }\cdot t+\frac { { a }_{ x }\cdot { t }^{ 2 } }{ 2 }, { \upsilon }_{ x }(t)={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t
{ a }_{ x }=const, \quad { \upsilon }_{ 2x }^{ 2 }-{ { \upsilon } }_{ 1x }^{ 2 }=2{ a }_{ x }\cdot ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })

Теория

В данной статье будем считать, что Вы умеете без проблем находить проекции величин и в примерах не будем подробно объяснять, чему они равны.
В задачах на равноускоренное движение применяют пять величин: проекции перемещения { s }_{ x }, проекции начальной скорости { \upsilon }_{ 0x } , проекции конечной скорости { \upsilon }_{ x }, проекции ускорения { a }_{ x } и времени t. Достаточно знать любые три величины, чтобы найти все остальные.

При решении задач по данной теме применяют два способа решения.

1 способ. При решении запоминаем и применяем две формулы:

{ \upsilon }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t,

{ s }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }\cdot t+\frac { { a }_{ x }\cdot { t }^{ 2 } }{ 2 } .

А в наиболее сложных случаях решаем систему этих двух уравнений.

2 способ. При решении запоминаем и применяем пять формул (см. таблицу 1).

Таблица 1

Формула Отсутствующая величина
1 { \upsilon }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t { s }_{ x }
2 { s }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }\cdot t+\frac { { a }_{ x }\cdot { t }^{ 2 } }{ 2 } { \upsilon }_{ x }
3 { s }_{ x }={ \upsilon }_{ x }\cdot t-\frac { { a }_{ x }\cdot { t }^{ 2 } }{ 2 } { \upsilon }_{ 0x }
4 { s }_{ x }=\frac { { \upsilon }_{ x }^{ 2 }-{ \upsilon }_{ 0x }^{ 2 } }{ 2{ a }_{ x } } t
5 { s }_{ x }=\frac { { \upsilon }_{ x }+{ \upsilon }_{ 0x } }{ 2 } \cdot t { a }_{ x }

 

Почему пять формул? Каждая из этих формул использует только четыре величины из пяти. Одна из величин не используется при решении (отсутствует) (см. таблицу 1, столбец № 3). Вариантов с одной отсутствующей величиной из пяти может быть только пять.

Алгоритм решения вторым способом.

1) определите, какие величины используются (даны или надо найти), а ка-кая отсутствует;

2) по отсутствующей величину из таблицы выберите рабочую формулу.

Пример 1. Найдите перемещение { s }_{ x }, если известны { \upsilon }_{ x }, { \upsilon }_{ 0x } и { a }_{ x }.

Отсутствующая величина t. Согласно таблице 1 для решения нужно ис-пользовать формулу № 4:
{ s }_{ x }=\frac { { \upsilon }_{ x }^{ 2 }-{ \upsilon }_{ 0x }^{ 2 } }{ 2{ a }_{ x } }.

Пример 2. Найдите перемещение { s }_{ x } если известны { \upsilon }_{ x }, { \upsilon }_{ 0x } и t.

Отсутствующая величина { a }_{ x }. Согласно таблице 1 для решения нужно использовать формулу № 5

{ s }_{ x }=\frac { { \upsilon }_{ x }+{ \upsilon }_{ 0x } }{ 2 } \cdot t.

Для сомневающихся и любопытных.

Вывод формулы №3. Из уравнения { \upsilon }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t найдем проекцию начальной скорости:

{ \upsilon }_{ 0x }={ \upsilon }_{ x }-{ a }_{ x }\cdot t.

Подставим полученное выражение в формулу № 2:

Вывод формулы №4. Из уравнения { \upsilon }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t найдем время:

t=\frac { { \upsilon }_{ x }-{ \upsilon }_{ 0x } }{ { a }_{ x } } .

Подставим полученное выражение в формулу № 2:

Вывод формулы №5. Из уравнения { \upsilon }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t найдем проекцию ускорения:

{ a }_{ x }=\frac { { \upsilon }_{ x }-{ \upsilon }_{ 0x } }{ t }.

Подставим полученное выражение в формулу № 2:

Задачи

Задача 1. Пассажирский поезд тормозит с ускорением 0,2 м/с2. На каком расстоянии от места включения тормоза скорость поезда станет равной 5 м/с, если перед торможением скорость была 15 м/с?

Решение. Скорость поезда уменьшается, поэтому ускорение направлено против начальной скорости. При прямолинейном движении (без поворотов) перемещение поезда равно расстоянию, которое он пройдет, т.е. s = s. Ось 0Х направим по направлению начальной скорости (рис. 1), поэтому

{ s }_{ x }=s,\quad { \upsilon }_{ x }=\upsilon ,\quad { \upsilon }_{ 0x }={ \upsilon }_{ 0 },\quad { a }_{ x }=-a

1 Способ. Из уравнения { \upsilon }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t находим время:

t=\frac { { \upsilon }_{ x }-{ \upsilon }_{ 0x } }{ { a }_{ x } } =\frac { \upsilon -{ \upsilon }_{ 0 } }{ -a } ,\quad t=50c.

Перемещение находим из уравнения { s }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }\cdot t+\frac { { a }_{ x }\cdot { t }^{ 2 } }{ 2 } :

s={ \upsilon }_{ 0 }\cdot t-\frac { a\cdot { t }^{ 2 } }{ 2 } , s = 500 м.

2 Способ. Используются υ0, υ, a и s (надо найти).

Так как отсутствующая величина t, то применяем формулу № 4:

Задача 2. Самолет при взлете за 20 с пробегает по дорожке взлетной полосы 700 м. Какую скорость самолет имеет в конце дорожки взлетной полосы? Движение самолета считайте равноускоренным.

Решение. Скорость самолета увеличивается, поэтому ускорение направлено в сторону движения. Фраза из условия «при взлете» позволяет сделать вывод, что υ0 = 0. Ось 0Х направим по направлению начальной скорости (рис. 2), поэтому

{ s }_{ x }=s,\quad { \upsilon }_{ x }=\upsilon ,\quad { \upsilon }_{ 0x }=0,\quad { a }_{ x }=a

1 способ. Из уравнения { s }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }\cdot t+\frac { { a }_{ x }\cdot { t }^{ 2 } }{ 2 } находим ускорение:

Конечную скорость находим из уравнения { \upsilon }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t:

\upsilon =a\cdot t,\quad \upsilon =70 м/с.

2 способ. Используются { \upsilon }_{ 0 }, \upsilon (надо найти), t и s.

Так как отсутствующая величина a, то применяем формулу № 5:

Тогда

Задача 3. Шарик в начале наклонного желоба толкнули вниз со скоростью 2 м/с. Определите скорость шарика в конце желоба, если шарик двигался с ускорением 1,25 м/с2, а длина желоба – 2 м.

Решение. Скорость шарика увеличивается, поэтому ускорение направлено в сторону движения. По условию длина желоба – это расстояние, которое пройдет шарик, и при прямолинейном движении s = l. Ось 0Х направим по направлению начальной скорости (рис. 3), поэтому

{ s }_{ x }=l,\quad { \upsilon }_{ x }=\upsilon ,\quad { \upsilon }_{ 0x }={ \upsilon }_{ 0 },\quad { a }_{ x }=a.

1 способ. Из уравнения { s }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }\cdot t+\frac { { a }_{ x }\cdot { t }^{ 2 } }{ 2 } находим время:

Получили квадратное уравнение относительно t. Корни этого уравнения:

находим конечную скорость из уравнения { \upsilon }_{ x }={ \upsilon }_{ 0x }+{ a }_{ x }\cdot t:

\upsilon ={ \upsilon }_{ 0 }+a\cdot t,\quad \upsilon =3 м/с.

2 способ. Используются { \upsilon }_{ 0 }, \upsilon (надо найти), a и s.

Так как отсутствующая величина t, то применяем формулу № 4:

Тогда

Задача 4. Хоккейная шайба проскользила по льду 50 м за 2,5 с и остановилась. С каким ускорением двигалась шайба?

Решение. По условию длина поля – это расстояние, которое пройдет шайба, и при прямолинейном движении s = l. «Шайба … остановилась» следовательно, \upsilon =0. Скорость шайбы уменьшается, поэтому ускорение направлено против движения. Ось 0Х направим по направлению начальной скорости (рис. 4), поэтому

{ s }_{ x }=l,\quad { \upsilon }_{ x }=0,\quad { \upsilon }_{ 0x }={ \upsilon }_{ 0 },\quad { a }_{ x }=-a

1 способ. Данную задачу по действиям решить нельзя, т.к. в каждом уравнение неизвестны две величины (ускорение и начальная скорость). Необходимо решать систему уравнений:

или

В итоге получаем:

2 способ. Используются \upsilon , a (надо найти), t и s.

Так как отсутствующая величина { \upsilon }_{ 0 }, то применяем формулу № 3:

Тогда

Вывод.

1) Преимущество первого способа только в том, что нужно запомнить две формулы. При применении второго способа надо запомнить пять формул.

2) При применении первого способа вы можете решать, как линейное уравнение с одним неизвестным, так и квадратные уравнения или систему двух уравнений в общем виде. При применении второго способа вы решаете одно уравнение с одним неизвестным.

Сакович А.Л., 2020