Анна Малкова
Схема 5 называется «Лемма о трезубце».
Пусть P – центр вписанной окружности треугольника АВС, Q – центр его вневписанной окружности, касающейся стороны ВС.
Точка пересечения биссектрисы угла A треугольника ABC с его описанной окружностью равноудалена от точек B, C, Р, Q. Эта схема называется также теоремой о трилистнике.
Дан треугольник АВС, АМ – биссектриса угла А, Р – центр вписанной окружности треугольника АВС, Q – центр его вневписанной окружности (которая касается стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС), М – точка пересечения биссектрисы угла А и описанной окружности треугольника АВС. Докажем, что МР = МВ = МС.
Видите на рисунке «трезубец» (или «трилистник»), состоящий из отрезков МР, МВ, МС, МQ?
Докажем сначала, что МВ = МС = МР.
Вписанные углы ВАМ и ВСМ опираются на дугу ВМ, следовательно, они равны.
Аналогично, вписанные углы САМ и СВМ опираются на дугу СМ, и они тоже равны.
, поскольку АМ – биссектриса угла ВАС.
Следовательно,
и треугольник ВМС – равнобедренный, ВМ = СМ.
Точка Р – центр вписанной окружности треугольника АВС. Значит, Р – точка пересечения биссектрис треугольника АВС, и тогда ВР и СР – биссектрисы его углов АВС и АСВ соответственно.
Пусть .
Сумма углов треугольника АВС равна , значит,
.
В треугольнике ВМР:
,
.
Тогда , треугольник ВМР равнобедренный, ВМ = РМ. Значит, точка М равноудалена от точек В, С и P. Аналогично доказывается, что МQ = ВМ = СМ = РМ.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Лемма о трезубце (трилистнике)» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 05.09.2023