Свойство медианы прямоугольного треугольника

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Пусть СМ - медиана прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С.
Продлим СМ за точку М и отметим на луче СМ точку К так, что СМ = МК.
Треугольники ВКМ и АСМ равны по углу и двум сторонам. Значит, углы ВКМ и АСМ равны (накрест лежащие), тогда ВК параллельна АС и ВК = АС, АКВС - параллелограмм, причем угол С в нем - прямой.

Мы получили прямоугольник АКВС.
Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.
Значит, $CM=AM=BM=\frac{1}{2}AB$ .

Задача ЕГЭ по теме «Медиана прямоугольного треугольника»
В треугольнике ABC угол ACB равен $90 ^{\circ}$ , угол B равен $58 ^{\circ}$ , CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что треугольник CBD – равнобедренный, CD = BD. Тогда

$\angle DCB = \angle DBC = 58 ^{\circ}$ .

Углы ACD и DCB в сумме дают $90 ^{\circ}$ . Отсюда

$\angle ACD = 90 ^{\circ} - \angle DCB = 90 ^{\circ} - 58 ^{\circ} = 32 ^{\circ}$ .

Это полезно