Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Пусть СМ - медиана прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С.
Продлим СМ за точку М и отметим на луче СМ точку К так, что СМ = МК.
Треугольники ВКМ и АСМ равны по углу и двум сторонам. Значит, углы ВКМ и АСМ равны (накрест лежащие), тогда ВК параллельна АС и ВК = АС, АКВС - параллелограмм, причем угол С в нем - прямой.
Мы получили прямоугольник АКВС.
Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.
Значит, .
Задача ЕГЭ по теме «Медиана прямоугольного треугольника»
В треугольнике ABC угол ACB равен , угол B равен
, CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что треугольник CBD – равнобедренный, CD = BD. Тогда
.
Углы ACD и DCB в сумме дают . Отсюда
.