Анна Малкова
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\), равен \(\displaystyle \frac{a+b-c}{2}\).
Доказательство:
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\) (угол \(C\) – прямой), в который вписана окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(r\). Катеты \(AC=b, \; BC=a\), гипотенуза \(AB=c.\) Надо доказать, что \(r=\displaystyle \frac{a+b-c}{2}\).
Вспомним, что отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.
Проведем \(OM \perp a, \; ON \perp b, \; OP \perp c.\)
Смежные стороны четырехугольника \(CMON\) равны (\(ON=OM=r\)), все углы прямые \(\left ( \angle C = \angle N = \angle M = 90 ^{\circ} \right )\), значит, \(CMON\) – квадрат.
Тогда \(NC=CM=r, \; AN=AP=b-r\) (по свойству длин отрезков касательных).
Аналогично \(BM=BP=a-r.\)
Поскольку \(AB = AP+ BP\), получим:
\(c=b-r+a-r\), отсюда \(r=\displaystyle \frac{a+b-c}{2}\).
Задача ЕГЭ по теме «Окружность вписана в прямоугольный треугольник»
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны \(82+41 \sqrt{2}\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение:
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: \(r=\displaystyle \frac{a+b-c}{2}\). Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в \(\sqrt{2}\) раз больше катета. Получим:
\(r=\displaystyle \frac{a+b-c}{2}=\frac{2(82+41\sqrt{2})-\sqrt{2}(82+41\sqrt{2})}{2}=\frac{164+82\sqrt{2}-82\sqrt{2}-82}{2}=\frac{82}{2}=41.\)
Ответ: 41.
