Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
Пусть точка \(M\) – середина диагонали \(AC, \ N\) – середина диагонали \(BD, \ P\) и \(Q\) – середины боковых сторон \(AB\) и \(CD.\)
Тогда \(PM\) – средняя линия треугольника \(ABC, \ PM\) параллельна \(BC.\) Это значит, что точка \(M\) лежит на средней линии \(PQ\) трапеции, поскольку через точку \(P\) можно провести на плоскости единственную прямую, параллельную прямой \(BC.\) При этом \(PM=\displaystyle \frac{BC}{2}.\)
Аналогично, точка \(N\) – середина диагонали \(BD\) – также лежит на \(PB\), то есть на средней линии трапеции, и \(QN=\displaystyle \frac{BC}{2}.\)
Поскольку \(PQ=\displaystyle \frac{AD+BC}{2}, \ MN=\displaystyle \frac{AD+BC}{2}-PM-QN=\frac{AD+BC}{2}-\frac{BC}{2}-\frac{BC}{2}=\frac{AD-BC}{2}.\)
Задача ЕГЭ по теме: «Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований».
Основания трапеции равны 10 и 6. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Решение:
Проведем \(PQ\) – среднюю линию трапеции, \(PQ=8\). Как мы доказали, отрезок \(MN\), соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.
\(PM\) – средняя линия треугольника \(ABC\), значит, \(PM = 3.\)
\(NQ\) – средняя линия треугольника \(BCD\), значит, \(NQ = 3.\)
Тогда \(MN = PQ − PM − NQ = 8 − 3 − 3 = 2.\)
Ответ: 2.
