Анна Малкова
Схема 3. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, угол В равен углу М, причем точки В и М лежат по одну сторону от прямой АС. Тогда точки А, В, С, М лежат на одной окружности.
В самом деле: по теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен радиусу окружности, описанной вокруг треугольника АМС и равен \(\frac{AC}{2sin \varphi}.\) А это значит, что точки А, В, М и С лежат на одной окружности.
Можно доказать и более общее утверждение: геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под данным углом, есть две дуги равных окружностей с общей хордой АВ, без точек А и В.
Задача ЕГЭ (Профильный уровень, №16)
Пусть АВ – хорда окружности с центром О, СВ – касательная к этой окружности, точки А и В лежат по разные стороны от прямой ОС. Радиус окружности ОВ равен 4, \(AB=2\sqrt{11},\) углы ОСВ и ОАВ равны.
а) Докажите, что точка О лежит на окружности Ω, описанной вокруг треугольника АВС.
б) Найдите радиус окружности Ω.
а) По условию, углы ОСВ и ОАВ равны. Отрезок ОВ виден из точек А и С под одинаковыми углами. Это значит, что четырехугольник OACB можно вписать в окружность. Тогда точка О лежит на окружности Ω, описанной вокруг треугольника АВС.
б) Мы доказали, что точка О лежит на окружности Ω, описанной вокруг треугольника АВС. Так как ВС – касательная к окружности, ВС ⊥ ОВ, ∠OBC=90°, значит, OC – диаметр. Тогда ∠OAC=90°, и треугольники ОВС и ОАС равны по гипотенузе и катету: OC – общая, OB=OA, ∠OAC=∠OВC=90°. Радиус окружности Ω равен \(\frac{1}{2}OC.\).
Перестроим чертеж. Пусть М – точка пересечения отрезков АВ и ОС.
По условию, ОВ = 4, \(AB=2\sqrt{11}\). Тогда \(BM=\sqrt{11}\). Из прямоугольного треугольника ОВМ по теореме Пифагора найдем \(OM=\sqrt{5}\).
Заметим, что на чертеже есть подобные прямоугольные треугольники: \(\triangle OMB \sim \triangle OBC\) по двум углам.
Запишем соотношение сходственных сторон для этих треугольников:
\(\frac{OM}{OB}=\frac{OB}{OC}.\)Получим: \(\frac{\sqrt{5}}{4}=\frac{4}{OC}.\) Отсюда \(OC=\frac{16}{\sqrt{5}}.\) Это диаметр окружности Ω. Радиус в 2 раза меньше: \(R=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}.\)
