Анна Малкова
Анна Малкова
У треугольников \(ABC\) и \(AMC\) сторона \(AC\) – общая, угол \(B\) равен углу \(M\), причем точки \(B\) и \(M\) лежат по одну сторону от прямой \(AC.\) Тогда точки \(A, \ B, \ C, \ M\) лежат на одной окружности.
В самом деле: по теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника \(ABC\), равен радиусу окружности, описанной вокруг треугольника \(AMC\) и равен \(\displaystyle \frac{AC}{2sin \varphi}.\) А это значит, что точки \(A, \ B, \ M\) и \(C\) лежат на одной окружности.
Можно доказать и более общее утверждение: геометрическое место точек \(M\), из которых отрезок \(AB\) виден под данным углом, есть две дуги равных окружностей с общей хордой \(AB\), без точек \(A\) и \(B.\)
Задача ЕГЭ (Профильный уровень, №16)
Пусть \(AB\) – хорда окружности с центром \(O, \ CB\) – касательная к этой окружности, точки \(A\) и \(B\) лежат по разные стороны от прямой \(OC.\) Радиус окружности \(OB\) равен 4, \(AB=2\sqrt{11},\) углы \(OCB\) и \(OAB\) равны.
а) Докажите, что точка \(O\) лежит на окружности \(\Omega \), описанной вокруг треугольника \(ABC.\)
б) Найдите радиус окружности \(\Omega .\)
Решение:
а) По условию, углы \(OCB\) и \(OAB\) равны. Отрезок \(OB\) виден из точек \(A\) и \(C\) под одинаковыми углами. Это значит, что четырехугольник \(OACB\) можно вписать в окружность.
Тогда точка \(O\) лежит на окружности \(\Omega \), описанной вокруг треугольника \(ABC.\)
б) Мы доказали, что точка \(O\) лежит на окружности \(\Omega \), описанной вокруг треугольника \(ABC.\)
Так как \(BC\) – касательная к окружности, \(BC\perp OB, \ \angle OBC=90^{\circ}\), значит, \(OC\) – диаметр.
Тогда \(\angle OAC=90^{\circ}\), и треугольники \(OBC\) и \(OAC\) равны по гипотенузе и катету: \(OC\) – общая, \(OB=OA, \ \angle OAC=\angle OBC=90^{\circ}.\)
Радиус окружности \(\Omega \) равен \(\displaystyle \frac{1}{2}OC.\)
Перестроим чертеж. Пусть \(M\) – точка пересечения отрезков \(AB\) и \(OC.\)
По условию, \(OB= 4, \ AB=2\sqrt{11}.\) Тогда \(BM=\sqrt{11}.\) Из прямоугольного треугольника \(OBM\) по теореме Пифагора найдем \(OM=\sqrt{5}.\)
Заметим, что на чертеже есть подобные прямоугольные треугольники: \(\triangle OMB \sim \triangle OBC\) по двум углам.
Запишем соотношение сходственных сторон для этих треугольников:\(\displaystyle \frac{OM}{OB}=\frac{OB}{OC}.\)
Получим: \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}=\frac{4}{OC}.\) Отсюда \(OC=\displaystyle \frac{16}{\sqrt{5}}.\) Это диаметр окружности \(\Omega \).
Радиус в 2 раза меньше: \(R=\displaystyle \frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}.\)
