Анна Малкова
У треугольников \(ABC\) и \(AMC\) сторона \(AC\) – общая, углы \(B\) и \(M\) – прямые. Тогда точки \(A, \ B, \ C, \ M\) лежат на окружности, радиус которой равен половине \(AC.\)
Иначе говоря, геометрическое место точек \(M\), из которых отрезок \(AB\) виден под прямым углом, есть окружность с диаметром \(AC\) без точек \(A\) и \(C.\)
Как и в предыдущей схеме, воспользуемся теоремой синусов.
\(\displaystyle \frac{AC}{sin \angle B}=\displaystyle \frac{AC}{sin \angle M}=AC=2R\), где \(R\) – радиус окружности, описанной вокруг треугольника \(ABC\), а также вокруг треугольника \(AMC.\) Это значит, что точки \(A, \ B, \ M\) и \(C\) лежат на окружности, центром которой является середина \(AC.\)
Задача ЕГЭ (№16, Профильный уровень, ЕГЭ-2018)
В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) углы \(ABD\) и \(ACD\) прямые.
а) Докажите, что \(AB = CD.\)
б) Найдите \(AD\), если \(AB = 2, \ BC = 7.\)
Решение:
а) Углы \(ABD\) и \(ACD\) прямые, поэтому вершины четырехугольника \(ABCD\) лежат на окружности диаметром \(AD.\) Трапеция вписана в окружность, значит она равнобедренная, и это значит, что \(AB= CD.\)
б) Пусть \(BH\) — высота трапеции \(ABCD.\) Трапеция равнобедренная, тогда, \(AD = 2AH + BC.\)
Найдем \(AH\) из прямоугольного треугольника \(ABH.\)
\(AH=ABcos\widehat{BAD}=AB \cdot \displaystyle \frac{AB}{AD}=\frac{AB^2}{BC+2AH}=\displaystyle \frac{4}{7+2AH}.\)
Пусть \(AH = x.\) Получим уравнение: \(2x^2+7x-4=0.\)
Его положительный корень \(AH = 0,5.\) Тогда \(AD = 8.\)
Ответ: 8.
