Анна Малкова
Схема 4. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, углы В и М – прямые. Тогда точки А, В, С, М лежат на окружности, радиус которой равен половине АС.
Иначе говоря, геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под прямым углом, есть окружность с диаметром АС без точек А и С.
Как и в предыдущей схеме, воспользуемся теоремой синусов.
\(\frac{AC}{sin \angle B}=\frac{AC}{sin \angle M}=AC=2R\), где R – радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС, а также вокруг треугольника АМС. Это значит, что точки А, В, М и С лежат на окружности, центром которой является середина АС.
Задача ЕГЭ (№16, Профильный уровень, ЕГЭ-2018)
В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые.
а) Докажите, что АВ = CD.
б) Найдите AD, если AB = 2, BC = 7.
а) Углы ABD и ACD прямые, поэтому вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности диаметром AD. Трапеция вписана в окружность, значит она равнобедренная, и это значит, что АВ = CD.
б) Пусть ВН — высота трапеции ABCD. Трапеция равнобедренная, тогда, AD = 2AH + BC.
Найдем АН из прямоугольного треугольника АВН.
\(AH=ABcos\widehat{BAD}=AB \cdot \frac{AB}{AD}=\frac{AB^2}{BC+2AH}=\frac{4}{7+2AH}.\)
Пусть АН = х. Получим уравнение: \(2x^2+7x-4=0.\)
Его положительный корень АН = 0,5. Тогда AD = 8.
Ответ: 8.
